63. Закони великих чисел. Приклади.

Форми ЗЧВ: Слабкий закон великих чисел та Посилений закон великих чисел. Обидва закони стверджують, що з певною достовірністю середнє вибірки

прямує до математичного сподівання

де X₁, X₂, ... — скінченна послідовність н.о.р. випадкові величини зі скінченним математичним сподіванням E(X₁) = E(X₂) = ... = µ < ∞.

Слабкий закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність однаково розподілених і некорельованих випадкових величин , визначених на одному імовірносному просторі . Їх коваріація . Нехай . Позначимо вибіркове середнє перших членів:

.

Тоді .

Посилений закон великих чисел

Нехай є нескінченна послідовність незалежних однаково розподілених випадкових величин , визначених на одному ймовірнісному просторі . Нехай . Позначимо вибіркове среднє перших членів:

.

Тоді майже напевно.

Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел

Слабкий закон стверджує, що для великого числа n, середнє значення правдоподібно є близько до μ. Отже, залишається можливість того, що трапляється нескінченну кількість разів, хоча й на рідкісних інтервалах.

Посилений закон стверджує що це майже напевно не станеться. Зокрема, це означає що з імовірністю 1, для кожного ε > 0 нерівність виконується для всіх достатньо велеких n.

Звч Бореля

Закон великих чисел Бореля, на честь Еміля Бореля, стверджує, що якщо повторювати експеримент багато раз за тих самих умов і незалежно від інших спроб, то частота певної події наближено дорівнює ймовірності випадання цієї події в кожному окремому експерименті; чим більша кількість повторень тим краще наближення. Точніше, якщо E — подія, p ймовірність цієї події і N_n(E) — число разів коли в експерименті випадає подія E в n перших спробах, тоді з ймовірністю 1:

Ця теорема строго формалізує інтуїтивне поняття ймовірності як граничної частоти випадання події в експерименті. Теорема є частковим випадком інших більш загальних законів великих чисел в теорії ймовірності.

Пример 81. Устройство состоит из 100 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время равна 0,03. Оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом (математическом ожиданием) отказов за время окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.

Решение. а). Обозначим через число отказавших элементов за время . Тогда [ ] = np = 100 * 0,03 = 3 и [ ] = npq = 100 * 0,03 * 0,97 = 2,91 (см. пример ). Воспользуемся неравенством Чебышева:

подставив в него [ ] = 3, [ ] = 2,91, = 2, получим

б). События и противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,

64. Закони великих чисел та їх застосування в математичній статистиці.

Закон великих чисел в теорії імовірностей стверджує, що емпіричне середнє (арифметичне сeреднє) скінченної вибірки із фіксованого розподілу близьке до теоретичного середнього (математичного сподівання) цього розподілу. В залежності від виду збіжності розрізняють слабкий закон великих чисел, коли має місце збіжність за ймовірністю, і посилений закон великих чисел, коли має місце збіжність майже скрізь.

Завжди знайдеться така кількість випробувань, при якій з будь-якою заданою наперед

імовірністю частота появ деякої події буде як завгодно мало відрізнятися від її імовірності