- •Основні задачі, які розв'язуються в математичній статистиці. Характеристика методів розв'язування цих задач. Приклади.
- •Варіаційні ряди. Інтервальний і дискретно варйований варіаційні ряди. Вибір початку та довжини першого інтервалу. Приклади.
- •Властивості вибіркового середнього
- •Вибіркова дисперсія. Різні формули обчислення вибіркової дисперсії, в яких випадках вони застосовуються. Зміст усіх параметрів формул. Приклади.
- •Теореми
- •Твердження
- •Полігон частот та полігон відносних частот. Гістограма, імовірнісний зміст: а) фігури, обмеженої гістограмою, б) кривої, що з'єднує середини верхніх основ прямокутників гістограми. Приклади.
- •Вибіркові статистики. Для чого вони вводяться і які параметри оцінюють. Приклади.
- •14. Точкове оцінювання
- •Особливість
- •21. Розподіл Кочрена. Приклад критерію, що в певних умовах має такий розподіл. При перевірці яких статистичних гіпотез він використовується. Приклади.
- •22. Розподіл Пуасона. Перевірка гіпотези про розподіл Пуасона для генеральної сукупності. Приклади.
- •24. Інтервали надійності для дисперсії нормально розподілених генеральних сукупностей, їх імовірнісний зміст. Як впливає збільшення надійної ймовірності на довжину надійного інтервалу. Приклади.
- •26. Статистичні гіпотези. Основна і альтернативна гіпотези. Приклади. Основні відомості про перевірку статистичних гіпотез. Рівень значущості. Приклади.
- •27. Помилки першого і другого роду. Їх наслідки. Критична область. Область прийняття гіпотези. Критичні точки. Лівостороння, правостороння і двостороння критичні області та їх пошук. Приклади.
- •28. Порівняння дисперсії нормальної генеральної сукупності з гіпотетичною дисперсією. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •29. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія відома. Приклади.
- •30. Порівняння математичного сподівання генеральної сукупності з гіпотетичним математичним сподіванням, якщо дисперсія невідома. Приклади.
- •31.Порівняння дисперсій двох нормальних генеральних сукупностей. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •33.Порівняння математичних сподівань двох нормально розподілених генеральних сукупностей з однаковими дисперсіями. Пошук критичних областей в залежності від альтернативної гіпотези. Приклади.
- •34.Критерії згоди. Критерій згоди Пірсона перевірки гіпотези про довільний закон розподілу. Перевірки гіпотези для розподіл Пуасона генеральної сукупності.
- •35.Критерії згоди. Критерій згоди Пірсона перевірки гіпотези про довільний закон розподілу. Схема перевірки гіпотези про нормальний розподіл генеральної сукупності.
- •36.Факторний аналіз. Основні гіпотези, які перевіряються у факторному аналізі. Особливості перевірки цих гіпотез при рівній кількості спостережень на різних рівнях фактору.
- •39. Критерій Кочрена. Приклад його застосування. Як слід діяти, якщо гіпотеза про рівність дисперсій не підтвердилася.
- •37.Факторний аналіз. Основні гіпотези, які перевіряються у факторному аналізі. Особливості перевірки цих гіпотез при неоднаковій кількості спостережень на різних рівнях фактору.
- •38. Критерій Бартлетта. Приклад його застосування. Як слід діяти, якщо гіпотеза про рівність дисперсій не підтвердилася
- •63. Закони великих чисел. Приклади.
- •Слабкий закон великих чисел
- •Посилений закон великих чисел
- •Різниця між слабким і посиленим законами великих чисел
- •Звч Бореля
- •64. Закони великих чисел та їх застосування в математичній статистиці.
- •67. Послідовність реалізації матричної форми методу найменших квадратів пошуку коефіцієнтів лінійних регресій за допомогою вбудованих функцій Excel.
- •68. Пошук вибіркових статистик за допомогою вбудованих функцій Excel та надстройки “Аналіз даних”.
- •69.Пошук незсунених оцінок невідомих параметрів за допомогою вбудованих функцій Excel та надстройки “Аналіз даних”.
- •70.Побудова інтервального варіаційного ряду за допомогою вбудованих функцій Excel.
Особливість
Якщо дискретні випадкові величини мають нормальний розподіл імовірностей, то їх сума різниця також будуть нормально розподілені, а добуток величин не буде підпорядкований нормальному розподілу
18. Критерій Пірсона, чи критерій χ ² (Хі-квадрат) - найбільш часто вживається критерій для перевірки гіпотези про закон розподілу. У багатьох практичних завданнях точний закон розподілу невідомий, тобто є гіпотезою, яка вимагає статистичної перевірки.Позначимо через X досліджувану випадкову величину. Нехай потрібно перевірити гіпотезу про те, що ця випадкова величина підкоряється закону розподілу F(x). Для перевірки гіпотези зробимо вибірку, що складається з n незалежних спостережень над випадковою величиною X. За вибіркою можна побудувати емпіричне розподіл F*(x) досліджуваної випадкової величини. Порівняння емпіричного розподілу F*(x) і теоретичного (або, точніше було б сказати, гіпотетичного - тобто відповідного гіпотезі ) розподілу F(x)проводиться за допомогою спеціального правила - критерію згоди. Одним з таких критеріїв і є критерій Пірсона.
19. t-критерій Стьюдента - загальна назва для класу методів статистичної перевірки гіпотез (статистичних критеріїв), заснованих на розподілі Стьюдента. Найбільш часті випадки застосування t-критерію пов'язані з перевіркою рівності середніх значень у двох вибірках.
t-статистика будується зазвичай за таким загальним принципом: в чисельнику випадкова величина з нульовим математичним очікуванням (при виконанні нульової гіпотези), а в знаменнику - вибіркове стандартне відхилення цієї випадкової величини, одержуване як квадратний корінь з незміщеної оцінки дисперсії.
Для застосування даного критерію необхідно, щоб вихідні дані мали нормальний розподіл. У разі застосування двохвибіркового критерію для незалежних вибірок також необхідне дотримання умови рівності дисперсій. Існують, проте, альтернативи критерію Стьюдента для ситуації з нерівними дисперсіями.
Вимога нормальності розподілу даних є необхідним для точного t-тесту. Однак, навіть при інших розподілах даних можливе використання t-статистики. У багатьох випадках ця статистика асимптотично має стандартний нормальний розподіл –N(0,1), тому можна використовувати квантилі цього розподілу. Однак, часто навіть у цьому випадку використовують квантилі не стандартного нормального розподілу, а відповідного розподілу Стьюдента, як у точній t-тесті. Асимптотично вони еквівалентні, проте на малих вибірках довірчі інтервали розподілу Стьюдента ширше й надійніше.
Одновиборочний t-критерій
Застосовується для перевірки нульової гіпотези про рівність математичного очікування деякого відомому значенню m.
Очевидно, при виконанні нульової гіпотези . З урахуванням передбачуваної незалежності спостережень . Використовуючи несмещенную оцінку дисперсії отримуємо наступну t-статистику:
При нульовій гіпотезі розподіл цієї статистики . Отже, при перевищенні критичного значення нульова гіпотеза відкидається.
Двухвиборочний t-критерій для незалежних вибірок
Нехай є дві незалежні вибірки обсягами нормально розподілених випадкових величин X1,X2. Необхідно перевірити за вибірковими даними нульову гіпотезу рівність математичних сподівань цих випадкових величин.
Розглянемо різницю вибіркових середніх . Очевидно, якщо нульова гіпотеза виконана . Дисперсія цієї різниці дорівнює виходячи з незалежності вибірок: . Тоді використовуючи несмещенную оцінку дисперсії отримуємо несмещенную оцінку дисперсії різниці вибіркових середніх: . Отже, t-статистика для перевірки нульової гіпотези дорівнює
Ця статистика при справедливості нульової гіпотези має розподіл , де
Випадок однакової дисперсії.У випадку, якщо дисперсії вибірок передбачаються однаковими, то . Тоді t-статистика дорівнює:
Ця статистика має розподіл
Двохвибірковий t-критерій для залежних вибірок
Для обчислення емпіричного значення t-критерію в ситуації перевірки гіпотези про відмінності між двома залежними вибірками (наприклад, двома пробами одного і того ж тесту з тимчасовим інтервалом) застосовується наступна формула:
де - середня різниця значень, - стандартне відхилення різниць, а n - кількість спостережень Ця статистика має розподіл.
20. Розподіл Фішера або F-розподіл у теорії імовірностей — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів. F-розподіл часто зустрічається як розподіл тестової статистики коли нульова гіпотеза вірна, особливо в тесті відношення правдоподібності, найважливіший випадок аналіз дисперсії .
Нехай — дві незалежні випадкові величини, що мають розподіл хі-квадрат : Тоді розподіл випадкової величини
називається розподілом Фішера зі ступенями свободи і . Пишуть .
Щільність випадкової величини з F-розподілом з параметрами задається формулою:
.
Математичне чекання і дисперсія випадкової величини, що має розподіл Фішера, мають вигляд: