[Править]для определённого интеграла

В целом аналогично случаю неопределённого интеграла:

2.5 Интегрирование рациональных дробей Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь P(x)/Q(x), числитель P(x) и знаменатель Q(x) которой – многочлены. Рациональные дроби бывают неправильные, если степень многочлена в её числителе не меньше степени многочлена в знаменателе, и правильные, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе.

У любой неправильной дроби можно выделить её целую часть. Для этого следует по правилу деления многочленов разделить числитель на знаменатель. Поэтому любую неправильную дробь можно представить в виде суммы её целой части и некоторой правильной дроби.

Например, неправильную дробь

можно представить в виде

Таким образом, если необходимо проинтегрировать неправильную дробь, то, представив её в виде суммы многочлена и правильной дроби, с помощью метода разложения сведём решение к интегрированию правильной дроби.

Ограничимся интегрированием лишь правильных рациональных дробей, знаменателями которых являются многочлены первой и второй степени. В общем виде интегралы от таких дробей записываются следующим образом:

                   (18)

       (19)

При интегрировании дробей можно использовать следующую формулу, получаемую с помощью метода замены переменной:

           (20)

2.6 Основная серия подходов для интегрировая тригонометрических выражений

При интегрировании тригонометрических функцийиспользуются приемы, позволяющие понижать степени, избавляться от произведения и т.д., т.е. необходимо использовать тригонометрические формулы, часто приходится использовать определения   и   , как функции отношения   к   и   к  соответственно, для эффективной замены переменных.

Приведем основные формулы, необходимые для взятия неопределенных интегралов от тригонометрических функций.

Для понижения четных степеней используются следующие формулы:

Для избавления от произведения используются следующие формулы:

Также нужно помнить формулы двойных углов:

Метод замены переменной в неопределенном интеграле. (4) Используем табличную формулу  , единственное отличие, вместо «икса» у нас сложное выражение.

Готово.

 Пример 2

Найти неопределенный интеграл.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.

Пример 3

Найти неопределенный интеграл.

Классика жанра для тех, кто тонет на зачёте. Как Вы, наверное, заметили, в таблице интегралов нет интеграла от тангенса и котангенса, но, тем не менее, такие интегралы найти можно.

(1) Используем тригонометрическую формулу 

(2) Подводим функцию под знак дифференциала.

(3) Используем табличный интеграл  .

2.8. Геометрический смысл определенного интеграла на произвольном измеримом множестве числовой прямой

Геометрический смысл определённого интеграла.

Е сли f(x)>0 на отрезке [a; b], то определённый интеграл от f(x) на отрезке [a; b] равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью Ох с боков - вертикальными прямыми x = a, x = b.