- •1.Вопросы по теме «общее представление об интеграле»
- •1.3 Определение меры
- •1.4 Дифференциал как мера
- •1.5 Интегрирование по мере
- •2Вопросы по теме « интегралы одной переменной»
- •2.1 Определение неопределенного интеграла
- •2.2 Свойство линейности для неопределенного интеграла
- •2.3 Метод интегрирования заменой переменой
- •Получение формул [править]Для неопределённого интеграла
- •[Править]для определённого интеграла
- •2.5 Интегрирование рациональных дробей Интегрирование рациональных дробей
- •2.6 Основная серия подходов для интегрировая тригонометрических выражений
- •2.8. Геометрический смысл определенного интеграла на произвольном измеримом множестве числовой прямой
- •2.9Сведение определенного интеграла к неопределенному
- •2.10 Основные типы несобственных интегралов и правил работы с ними Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •2.11 Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
- •2.12 Вычисление длины кривой, в том числе пространственной, с помощью определенного интеграла
- •2.13 Вычисление площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла
- •2.15 Вычисление массы кривой с помощью определенного интеграла
- •3.Вопросы потеме «кратные интыгралы»
- •3.2 Свойство аддитивности кратного интеграла
- •3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.
- •Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)
- •4.3 Критерий независимости криволинейного интеграла второго типа от пути
- •1Плоский случай
- •2Пространственный случай
- •4.4 Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •4.5 Типы поверхностного интеграла
- •1. Поверхностные интегралы первого типа
- •4.6 Теореме дифференцирования интеграла по параметру
- •5.Вопросы по теме « общее положение о рядах»
- •5.1 Общее определение ряда
- •5.2 Определение суммы ряда.Необходимый признак сходимости ряда Определение
- •5.3Абсолютная и простая сходимлсть рядов.
- •5.6Примеры числовых, функциональных и оперативных рядов Числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •7.1 Теорема существования радиуса сходимости у степенного ряда
- •7.2 Формулы определения радиуса сходимости
- •7.9. Ряды тейлора и маклорена для функций нескольких переменных Формула Тейлора для функции нескольких переменных
4.4 Нахождение функции по ее полному дифференциалу
4.5 Типы поверхностного интеграла
1. Поверхностные интегралы первого типа
К понятию интеграла по поверхности приводит, например, задача о вычислении массы, распределённой по поверхности с переменной поверхностной плотностью f(M).
Решим эту задачу.
Рис.1
Разобьём поверхность произвольным образом на п частей i (см. рис. 1) и выберем в каждой из них (также произвольно) точку Mi. Если части i достаточно малы, то за их массу можно принять произведение , i = 1, 2, …, n, где - площадь i-го участка поверхности (т.е. мы предполагаем, что каждый из участков i однородный с плотностью f(Mi), где i = 1, 2, …, n), тогда масса всей поверхности
(1)
Это значение тем точнее, чем меньше участки i. Переходя к пределу при , а значит, уменьшая размер каждого участка, получим точное значение массы поверхности
К аналогичным пределам приводят и другие задачи физики, эти пределы называются поверхностными интегралами первого типа.
Теорема. Если при стремлении диаметров всех частей i к нулю интегральная сумма (1) имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек Mi, то этот предел называется поверхностным интегралом первого рода и обозначается
(2)
Заметим, что этот интеграл обладает всеми свойствами криволинейного интеграла первого типа и, в частности, если подынтегральная функция f(x, y, z) = 1, получаем формулу для вычисления площади поверхности
. (3)
Интегралу (2) можно придать механический смысл: если f(x, y, z) = - переменная плотность материальной поверхности , то масса этой неоднородной поверхности
. (4)
Выведем формулу для вычисления интеграла (2).
Рис.2
Пусть поверхность однозначно проектируется в область D плоскости хоу. Тогда
,
где - угол между нормалью к поверхности и осью OZ (см. рис. 2).
Если поверхность описывается уравнением z = z(x, y), то
(см. тему 12 формулу 14 .).
Подставив этот дифференциал в (2), получим формулу для вычисления поверхностного интеграла по поверхности
(5)
где Dxy - проекция поверхности на плоскость хоу.
Таким образом, чтобы вычислить поверхностный интеграл первого типа, необходимо перевести его в двойной интеграл по области D, полученной в результате проектирования поверхности на одну из координатных плоскостей (проектирование должно быть взаимно однозначным: одна точка поверхности проектируется в одну точку плоскости), подсчитать элемент и выразить подынтегральную функцию через выбранные переменные.
Поверхностный интеграл второго типа (по проекциям)
Пусть в каждой точке двухсторонней поверхности задана непрерывная функция f(x, y, z). Выберем на поверхности определённую сторону, разобьём её сетью произвольных кривых на п участков , на каждом из которых произвольно выберем точку
, где i = 1, 2, …, n.
Вычислим значения функции fi = f(Mi), где i = 1, 2, …, n.
На каждом из участков в выбранной точке Mi построим к выбранной стороне поверхности нормаль .
Спроектируем каждый из участков i на плоскость xoy, обозначив площадь проекции i-го участка. Составим произведения , причём, если нормаль образует острый угол с осьюoz, берём произведение со знаком плюс, если нормаль образует тупой угол с осью oz, берём произведение со знаком минус. Суммируем все произведения:
. (6)
Обратите внимание: слагаемые суммы (6), в отличие от предыдущих интегральных сумм, распространяют на весь участок i не только значение функции f(Mi), но и направление нормали, построенной в точке Mi.
Теорема. Если существует конечный предел интегральной суммы (6) при стремлении к нулю диаметров всех частей (или maxdi 0), не зависящий от типа разбиения и выбора точек Mi, то его называют поверхностным интегралом второго типа, распространённым на выбранную сторону поверхности, и обозначают
,
.
Аналогично определяются интегралы
, ,
причём для выбора знака проекции служит угол нормали с осью оу и ох соответственно.
Наиболее общим видом поверхностного интеграла второго типа является составной интеграл
, (7)
где Р, Q, R - функции трёх переменных, определённые и непрерывные на поверхности .
Поверхностный интеграл (7) обладает всеми свойствами поверхностного интеграла первого типа, за исключением одного: при изменении стороны поверхности интеграл меняет знак на противоположный.
Рассмотрим сначала третье слагаемое формулы (7) и поставим задачу о вычислении данного интеграла.
Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y) и она однозначно проектируется в область Dxy плоскости xoy. Тогда
, (8)
где знак (+) берётся, если на выбранной стороне поверхности , и знак (-) берётся, если .
Аналогично рассуждая, получим формулы для вычисления оставшихся слагаемых составного интеграла.
Пусть поверхность задана уравнением y = (x, z) и она однозначно проектируется на плоскость xoz в область Dxz. Тогда
(9)
Знак (+) берём, если на выбранной стороне поверхности , и знак (-) берём, если .
Первое слагаемое формулы (7) вычисляется с помощью двойного интеграла
, (10)
где x = (y,z) - уравнение поверхности ;
Dyz - проекция поверхности на плоскость yoz.
Знак (+) берём, если , знак (-) берём, если на выбранной стороне поверхности .
Таким образом, для вычисления составного интеграла (7) используются формулы (8) - (10), правые части которых представляют собой двойные интегралы по соответствующим проекциям поверхности на координатные плоскости; проектирование каждый раз предполагается однозначным. В более сложных случаях поверхность разбивают на части.