- •1.Вопросы по теме «общее представление об интеграле»
- •1.3 Определение меры
- •1.4 Дифференциал как мера
- •1.5 Интегрирование по мере
- •2Вопросы по теме « интегралы одной переменной»
- •2.1 Определение неопределенного интеграла
- •2.2 Свойство линейности для неопределенного интеграла
- •2.3 Метод интегрирования заменой переменой
- •Получение формул [править]Для неопределённого интеграла
- •[Править]для определённого интеграла
- •2.5 Интегрирование рациональных дробей Интегрирование рациональных дробей
- •2.6 Основная серия подходов для интегрировая тригонометрических выражений
- •2.8. Геометрический смысл определенного интеграла на произвольном измеримом множестве числовой прямой
- •2.9Сведение определенного интеграла к неопределенному
- •2.10 Основные типы несобственных интегралов и правил работы с ними Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •Несобственный интеграл с бесконечным пределом (ами) интегрирования
- •2.11 Вычисление площади фигуры с помощью определенного интеграла
- •2.12 Вычисление длины кривой, в том числе пространственной, с помощью определенного интеграла
- •2.13 Вычисление площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла
- •2.15 Вычисление массы кривой с помощью определенного интеграла
- •3.Вопросы потеме «кратные интыгралы»
- •3.2 Свойство аддитивности кратного интеграла
- •3.4.Сведенья кратного интеграла к интегралам одной переменной.
- •Криволинейный интеграл первого типа (по длине дуги)
- •Криволинейный интеграл второго типа (по координатам)
- •4.3 Критерий независимости криволинейного интеграла второго типа от пути
- •1Плоский случай
- •2Пространственный случай
- •4.4 Нахождение функции по ее полному дифференциалу
- •4.5 Типы поверхностного интеграла
- •1. Поверхностные интегралы первого типа
- •4.6 Теореме дифференцирования интеграла по параметру
- •5.Вопросы по теме « общее положение о рядах»
- •5.1 Общее определение ряда
- •5.2 Определение суммы ряда.Необходимый признак сходимости ряда Определение
- •5.3Абсолютная и простая сходимлсть рядов.
- •5.6Примеры числовых, функциональных и оперативных рядов Числовые ряды
- •Функциональные ряды
- •7.1 Теорема существования радиуса сходимости у степенного ряда
- •7.2 Формулы определения радиуса сходимости
- •7.9. Ряды тейлора и маклорена для функций нескольких переменных Формула Тейлора для функции нескольких переменных
1.5 Интегрирование по мере
ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ
интеграл, в к-ром последовательно выполняется интегрирование по разным переменным, т. е. интеграл вида
(1)
Функция f(x, y).определена на множестве А, лежащем в прямом произведении XX Y пространств Xи У, в к-рых заданы s-конечные меры mx и my, обладающие свойством полноты; множество ("сечение" множества А), измеримое относительно меры m х;. множество А у (проекция множества Ав пространство Y), измеримое относительно меры m у. Интегрирование по (у).производится по мере (mx, а по А у - по мере my. Интеграл (1) обозначают также
К П. и. могут быть сведены кратные интегралы. Пусть функция f(x, у), интегрируемая по мере на множестве , продолжена нулем на все пространство , тогда П. и.
и
существуют и равны между собой:
(2)
(см. Фубини теорема). В левом интеграле внешнее интегрирование фактически производится по множеству . Таким образом, в частности, для точек множества (у).измеримы относительно меры m х. По всему множеству А у брать этот интеграл, вообще говоря, нельзя, т. к. при измеримом относительно меры m множества Амножество А у может оказаться неизмеримым относительно меры my, так же, как и отдельные множества (у), , могут быть неизмеримы относительно меры m х.
Множество же всегда измеримо относительно меры my, если только множество Аизмеримо относительно меры m.
Сформулированные условия возможности перемены порядка интегрирования в П. и. являются лишь достаточными, но не необходимыми: иногда перемена порядка интегрирования в П. и. допустима, а соответствующий кратный интеграл не существует.
Напр., для функции при x2+y2>0 и f(0, 0) = 0 П. и.
а кратный интеграл
не существует. Однако если существует хотя бы один из интегралов
или
то функция f интегрируема на множестве и справедливо равенство (2).
Для П. и. в случае, когда внутренний интеграл является интегралом Стилтьеса, а внешний - интегралом Лебега, справедлива следующая теорема о перемене порядка интегрирования: пусть функция g(x, у). суммируема по уна [с, d]для всех значений хиз [ а, b]и является функцией ограниченной вариации по хна [ а, b]для почти всех значений . Пусть, далее, полная вариация функции g(x, у).но переменной хна [a, b]при всех указанных значениях уне превышает нек-рой неотрицательной и суммируемой на [с, d] функции. Тогда функция является функцией ограниченной вариации от переменной хна [а, b]и для любой непрерывной на [а, b]функции f(х).имеет место формула
2Вопросы по теме « интегралы одной переменной»
2.1 Определение неопределенного интеграла
Дадим строгое математическое определение понятия неопределенного интеграла.
Выражение вида называется интегралом от функции f(x), где f(x) - подынтегральная функция, которая задается (известная), dx - дифференциал x, с символом всегда присутствует dx.
Определение. Неопределенным интегралом называется функция F(x) + C, содержащая произвольное постоянное C, дифференциал которой равенподынтегральному выражению f(x)dx, т.е. или Функцию называют первообразной функции . Первообразная функции определяется с точностью до постоянной величины.
Напомним, что -дифференциал функции и определяется следующим образом:
Задача нахождения неопределенного интеграла заключается в нахождении такой функции,производная которой равняется подынтегральному выражению. Данная функция определяется с точностью до постоянной, т.к. производная от постоянной равняется нулю.
Например, известно, что , тогда получается, что , здесь - произвольная постоянная.
Задача нахождение неопределенного интеграла от функций не столь простая и легкая, как кажется на первый взгляд. Во многих случаях должен быть навык работы снеопределенными интегралами, должен быть опыт, который приходит с практикой и с постоянным решением примеров на неопределенные интегралы. Стоит учитывать тот факт, что неопределенные интегралы от некоторых функций (их достаточно много) не берутся в элементарных функциях.