4.6 Теореме дифференцирования интеграла по параметру

 Дифференцирование по параметру 

     Если функция   и ее частная производная   непрерывны на множестве  , а функции   и  дифференцируемы на интервале   и удовлетворяют на нем условиям  , то при 

  (правило Лейбница).

Первая формула остается в силе и для несобственных интегралов, если предположить, что интеграл   сходится, а интеграл   равномерно сходится на интервале  . (При этом функция   и ее производная  предполагаются непрерывными лишь на множестве   или на множестве  .)

Второй случай часто можно свести к первому подходящей заменой переменных. Отметим также, что

5.Вопросы по теме « общее положение о рядах»

5.1 Общее определение ряда

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пара числовых последовательностей { a_n } и { S_n } , где   называется (числовым) рядом (илибесконечной суммой) и обозначается  . Элементы последовательности { a_n } называют членами ряда, а элементы последовательности { S_n } – частичными суммами ряда.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если существует конечный предел последовательности { S_n } , который мы обозначим S, тогда S называютсуммой ряда; а сам ряд именуют сходящимся и пишут :  . Если же последовательность { S_n } не имеет конечного предела, ряд именуют расходящимся.

Для задания ряда достаточно задать только одну из последовательностей { a_n } или { S_n }. Сходимость ряда эквивалентна сходимости последовательности { S_n } , и поэтому исследование ряда можно свести к исследованию последовательности {S_n }.

 

5.2 Определение суммы ряда.Необходимый признак сходимости ряда Определение

Пусть   — числовой ряд. Число   называется  -ой частичной суммой ряда  .

Сумма (числового) ряда — это предел частичных сумм  , если он существует и конечен. Таким образом, если существует число  , то в этом случае пишут  . Такой ряд называется сходящимся. Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то говорят, что ряд расходится.

Необходимый признак сходимости ряда

Ряд     может сходиться лишь в том случае, когда член   (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

[править]Примеры

•  где   — сумма геометрической прогрессии, в частности

  • 

• .

•  — гармонический ряд расходится.

•  — телескопический ряд.

5.3Абсолютная и простая сходимлсть рядов.

Признаки абсолютной сходимости

[править]Признак сравнения

Если   при  , то:

• если ряд   сходится, то ряд   сходится абсолютно

• если ряд   расходится, то ряд   расходится

Согласно критерию Коши,  . Значит,  , и по критерию Коши ряд   сходится. Второе утверждение следует из первого, так как если бы ряд   сходился, то и ряд   сходился бы.

[править]Признак сходимости рядов с монотонно убывающими членами

Пусть  . Тогда ряд   сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд  Простейшие свойства сходящихся рядов.

1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остатков. Наоборот, из сходимости какого-то остатка вытекает сходимость всего ряда. Отсюда следует, что изменение или выбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости или расходимости.

2. Если ряд   сходится, то  .

3. Если ряд   сходится, то сходится ряд   и имеет место равенство

.

4. Если ряды   и   сходятся, то сходится и ряд    имеет место равенство

.

5. Если ряд   сходится, то  .

Отсюда следует Признак расходимости ряда. Если  , то ряд   расходится.

5.5 понятие и пример условно сходящегося ряда

Ряд   называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. То есть, если  существует (и не бесконечен), но  . Примеры

Простейшие примеры условно сходящихся рядов дают убывающие по абсолютной величине знакочередующиеся ряды. Например, ряд

сходится лишь условно, так как ряд из его абсолютных величин — гармонический ряд — расходится.