14 ) Доверительный интервал для генеральной средней m

Генеральная дисперсия s2 известна

Если исходная генеральная совокупность нормальная, то выборочное распределение выборочных средних также будет нормальным. Если генеральная совокупность имеет среднюю величину m и стандартное отклонение s , то выборочное распределение средних будет иметь среднюю величину, Е (`x ) = m и стандартную ошибку . Из центральной предельной теоремы известно, что данные утверждения справедливы для ненормальной генеральной совокупности, если объем выборки n не меньше 30.

Если мы отобрали n единиц из генеральной совокупности N и нашли среднюю величину по выборке`x, то `x может быть использовано для оценки генеральной средней m. Насколько надежна эта оценка?

Рис. 5.1. Выборочное распределение выборочных средних `x для выборок объема n, взятых из нормальной генеральной совокупности со средней величиной m и дисперсией s2

На рис. 5.1 показано выборочное распределение выборочных средних. Величины `x1 и `x2 расположены симметрично относительно генеральной средний величины. Площадь под кривой, ограниченная этими пределами, включает 95% выборочного распределения. Область ниже изгиба кривой до величины `x1 включает 2,5% и область ниже изгиба кривой после величины `x2 - 2,5% распределения. Следовательно, мы можем сказать, что выборочная совокупность n единиц, взятая из нашей исходной генеральной совокупности, с вероятностью 95% будет иметь среднюю величину, лежащую между `x1 и `x2.

Средняя величина `x1 со стандартной ошибкой (`x1-m)/ SE`x находится на расстоянии ниже генеральной средней m, а средняя величина `x1 находится на таком же расстоянии выше m.

Поскольку интервал между `x1 и `x2 включает 95% распределения, мы можем определить из таблицы нормального распределения, что `x2 соответствует 1,96 стандартных ошибок выше средней m и `x1 соответствует 1,96 стандартных ошибок ниже средней m:

`x1= m - 1,96 • SE`x ;

`x2 = m + 1,96 • SЕ`x .

Поэтому расстояние от х, до х2 может быть записано как:

m ± 1,96 • SE`x.

Обычно мы проводим всего одну выборку из генеральной совокупности; рассчитываем среднее значение выборки `x и используем его для вывода о среднем значении генеральной совокупности m, из которой была взята выборка. На 95% мы уверены, что наше единственное значение `x лежит между `x1 и `x2 Если `x действительно попадает в интервал между `x1 и `x2, то тогда m должно находиться где-нибудь в пределе:

`x ± 1,96-SE`x.

Мы можем сказать, что уверены в этом на 95%. Следовательно, `x ± 1,96-SE`x. является доверительным интервалом для среднего значения генеральной совокупности с вероятностью 95%. Если, например, `x точно равно `x1, то m находится правее точки`x1. Если `x меньше`x1, то m не лежит в доверительном интервале. В этом случае мы выбрали одну из 5% выборочных совокупностей, для которой вывод, сделанный выше, неверен. Мы ограничились 95% выборочного распределения. Это был совершенно субъективный выбор. Может быть использован любой размер интервала и любая степень уверенности, что мы в нее попадем в зависимости от того, насколько мы хотим быть уверены, что среднее значение генеральной совокупности лежит внутри указанного интервала. Типичными являются 90%, 95% или 99%-ный доверительные интервалы. Какую бы величину мы не выбрали, построение доверительного интервала остается тем же. Единственная разница возникает в значении стандартизованной нормальной переменной z. Следовательно, общая формула доверительного интервала для генеральной средней имеет вид:

где za/2 — величина стандартизованной нормальной переменной, выше которой лежит (a/2)100% значений. Это дает (1 -a)100% доверительный интервал.

Например, если нам требуется найти доверительный интервал с вероятностью 95%, то тогда a = 0,05 и доверительный интервал может быть записан как:

Если известно стандартное отклонение генеральной совокупности то, тогда стандартная ошибка распределения выборочных средних находится по формуле:

и (1 - a )100% доверительный интервал для генеральной средней может быть записан как: