- •1 Блок :
- •Предмет эконометрики. Цели и задачи эконометрики
- •Основные этапы эконометрического моделирования.
- •Статистические данные и способы их представления.
- •Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
- •2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Числовые характеристики.
- •7 Вопрос Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
- •8 Вопрос. Нормальное распределение случайной величины. Числовые характеристики
- •10.Вероятность попадания нормального распределения случайной величины на отрезок. Правило трех сигм.
- •11.Типовые законы распределения случайной величины
- •12 ) Генеральная совокупность и выборка из нее
- •14 ) Доверительный интервал для генеральной средней m
- •15 ) Доверительный интервал для генеральной средней а (генеральная дисперсия s2 неизвестна)
- •2 Блок :
- •Доверительный интервал для генеральной доли (относительной величины) р
- •Функция распределения, плотность распределения и их свойства.
- •Определение
- •Плотность распределения
- •Общий подход к решению задачи проверки гипотез.
- •Нулевая гипотеза (нуль-гипотеза) и альтернатива (альтернативная гипотеза)
- •6.2.2. Ошибки при проверке гипотез
- •6.2.3. Критерии значимости
- •Общая схема проверки гипотез
- •Замечание 1
- •6.2.4. Односторонние и двусторонние критерии
- •5) Модель парной линейной регрессии (плр).
- •6)Оценка коэффициентов парной линейной регрессии методом наименьших квадратов
- •7)Дисперсия наблюдаемых значения, расчетных значения, остатков (для парной линейной регрессии). Коэффициент детерминации.
- •8)Проверка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии.
- •10 )Множественная линейная регрессия
- •11)Метод наименьших квадратов для нахождения параметров множественной линейной регрессии.
- •12)Проверка значимости коэффициентов множественной линейной регрессии
- •13)Классическая модель множественной линейной регрессий
- •14)Прогнозирование значений зависимой переменной для парной линейной регрессии.
- •15)Нелинейные модели , приводимые в линейному иду
Функция распределения, плотность распределения и их свойства.
Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.
Определение
Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:
.
Т.е. функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события , т.е. события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .
Свойства
непрерывна справа:[1]
не убывает на всей числовой прямой.
.
.
Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.
По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.
Тождества
Из свойств вероятности следует, что , таких что :
;
;
;
;
;
;
;
.
Дискретные распределения
Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности
,
то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:
.
Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .
Непрерывные распределения
Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:
,
и
,
а следовательно формулы имеют вид:
,
где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.
Абсолютно непрерывные распределения
Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:
.
Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и
.
Вариации и обобщения
Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:
.
Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.
Многомерные функции распределения
Пусть фиксированное вероятностное пространство, и — случайный вектор. Тогда распределение , называемоераспределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом: ,где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.
Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .