- •1 Блок :
- •Предмет эконометрики. Цели и задачи эконометрики
- •Основные этапы эконометрического моделирования.
- •Статистические данные и способы их представления.
- •Дискретная случайная величина, закон и функция распределения
- •2. Числовые характеристики дискретных случайных величин
- •Дискретная случайная величина, распределенная по закону Пуассона. Числовые характеристики.
- •7 Вопрос Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
- •8 Вопрос. Нормальное распределение случайной величины. Числовые характеристики
- •10.Вероятность попадания нормального распределения случайной величины на отрезок. Правило трех сигм.
- •11.Типовые законы распределения случайной величины
- •12 ) Генеральная совокупность и выборка из нее
- •14 ) Доверительный интервал для генеральной средней m
- •15 ) Доверительный интервал для генеральной средней а (генеральная дисперсия s2 неизвестна)
- •2 Блок :
- •Доверительный интервал для генеральной доли (относительной величины) р
- •Функция распределения, плотность распределения и их свойства.
- •Определение
- •Плотность распределения
- •Общий подход к решению задачи проверки гипотез.
- •Нулевая гипотеза (нуль-гипотеза) и альтернатива (альтернативная гипотеза)
- •6.2.2. Ошибки при проверке гипотез
- •6.2.3. Критерии значимости
- •Общая схема проверки гипотез
- •Замечание 1
- •6.2.4. Односторонние и двусторонние критерии
- •5) Модель парной линейной регрессии (плр).
- •6)Оценка коэффициентов парной линейной регрессии методом наименьших квадратов
- •7)Дисперсия наблюдаемых значения, расчетных значения, остатков (для парной линейной регрессии). Коэффициент детерминации.
- •8)Проверка статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии.
- •10 )Множественная линейная регрессия
- •11)Метод наименьших квадратов для нахождения параметров множественной линейной регрессии.
- •12)Проверка значимости коэффициентов множественной линейной регрессии
- •13)Классическая модель множественной линейной регрессий
- •14)Прогнозирование значений зависимой переменной для парной линейной регрессии.
- •15)Нелинейные модели , приводимые в линейному иду
7 Вопрос Непрерывные случайные величины и их числовые характеристики.
Случайная величина называется непрерывной, если она принимает более, чем счётное число значений.
Случайная величина называется абсолютно непрерывной, если её функция распределения может быть представлена в виде
. (3.24)
При этом функция называется плотностью распределения вероятностей (или, короче, плотностью распределения) случайной величины . График плотности распределения случайной величины называется кривой распределения вероятностей (или, короче, кривой распределения) случайной величины . Всюду ниже в данном параграфе будут рассматриваться абсолютно непрерывные случайные величины, при этом слово <абсолютно> будет опускаться.
Как и раньше, если известно, о какой случайной величине идёт речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается: .
Плотность распределения обладает следующими свойствами:
для всех : ; (3.25)
; (3.26)
для всех точек , в которых существует производная : . (3.27)
Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное числовое значение, равна нулю:
для всех : . ( STYLEREF 1 \s 3. SEQ Формула. \* ARABIC \s 1 28)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать по формуле
для всех , таких, что : (3.29)
.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется число
. (3.30)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.12) - (3.15), что и математическое ожидание дискретной случайной величины.
Формулы (3.16) и (3.17) для вычисления дисперсии непрерывных случайных величин принимают вид
, (3.31)
. (3.32)
соответственно.
Дисперсия непрерывной случайной величины обладает теми же свойствами (3.20) - (3.22), что и дисперсия дискретной случайной величины.
Наиболее часто встречающиеся законы распределения непрерывных случайных величин приведены в табл. 3.2.
8 Вопрос. Нормальное распределение случайной величины. Числовые характеристики
Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса, —распределение вероятностей, которое играет важнейшую роль во многих областях знаний, особенно в физике. Физическая величина подчиняется нормальному распределению, когда она подвержена влиянию огромного числа случайных помех. Ясно, что такая ситуация крайне распространена, поэтому можно сказать, что из всех распределений, в природе чаще всего встречается именно нормальное распределение — отсюда и произошло одно из его названий.
Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть, является, с математической точки зрения, не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).
Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1.
Характеристики распределения Править
Плотность вероятности нормально распределённой случайной величины с параметром смещения μ и масштаба σ (или, что тоже самое, дисперсией σ2) имеет следующий вид:
Функция распределения такой величины не выражается через элементарные функции и записывается по определению через интеграл Римана как
Функция распределения стандартной нормальной случайной величины (т. е. при ) часто обзначают как :
Функцию распределения нормальной случайной величины с любыми параметрами легко выразить через :
Характеристическая функция нормального распределения имеет вид
где ξ˜N(μ,σ2) — нормально распредёленная с параметрами μ и σ случайная величина.
Производящая функция моментов ξ определена для всех вещественных t задаётся формулой
Процентили стандартного нормального распределения Править
Процентили стандартного нормального распределения задаются уравнением
.
Ниже суммированы значения процентилей для наиболее чaсто встречающихся значений α.
α |
0,05 |
0,1 |
0,15 |
0,2 |
0,25 |
0,3 |
0,35 |
0,4 |
0,45 |
0,5 |
0,55 |
0,6 |
0,65 |
0,7 |
0,75 |
0,8 |
0,85 |
0,9 |
0,95 |
zα |
−1,6449 |
−1,2816 |
−1,0364 |
−0,8416 |
−0,6745 |
−0,5244 |
−0,3853 |
−0,2533 |
−0,1257 |
0 |
0,1257 |
0,2533 |
0,3853 |
0,5244 |
0,6745 |
0,8416 |
1,0364 |
1,2816 |
1,6449 |
Моделирование нормальных случайных величин Править
Неточные методы моделирования основываются на центральной предельной теореме. Именно, если сложить много независимых одинаково распределённых величин с конечной дисперсией, то сумма будет распределена примерно нормально. Например, если сложить 12 независимых базовых случайных величин, получится грубое приближение стандартного нормального распределения.
Тем не менее, использование точных методов предпочтительно, поскольку у них практически нет недостатков. В частности, преобразование Бокса — Мюллера является точным, быстрым и простым для реализации методом генерации.
Статистическая проверка принадлежности нормальному распределению Править
Поскольку нормальное распределение часто встречается на практике, то для него разработаны специальные статистические критерии: критерий Пирсона, критерий Колмогорова — Смирнова и др.
Курьёзы с нормальным распределением Править
В популярных психологических тестах часто используются списки вопросов, ответы на которые соответствуют определённым количествам баллов, которые затем суммируются. В зависимости от суммы, испытуемого причисляют к той или иной категории. Оказывается, что согласно центральной предельной теореме, если вопросы не имеют никакого смысла и никак не соотносятся с теми категориями, к которым причисляют испытуемых, а ответы случайны (то есть, если тест фальшивый), то распределение сумм окажется приближенно нормальным, а это значит, что большинство испытуемых окажутся причислены к некоей средней категории.
Поэтому, если в каком-то тесте вы (да ещё и ваши знакомые) оказались посередине шкалы, знайте, что это, вполне возможно, сработало нормальное распределение, а тест ничего не значит.
2)Функция плотности вероятности такого нормального распределения имеет вид
Интегральная функция вероятности распределения обычно выражается через специальную функцию erf(x):