5) Модель парной линейной регрессии (плр).

Пусть необходимо изучить двумерную СВ – (X ,Y), где X и Y определяют некоторые генеральные совокупности. Можно утверждать, что изменение СВ X приводит к изменению СВ Y, т.е. X рассматривается как объясняющая (независимая) переменная -фактор, а Y - как объясняемая (зависимая) переменная.

Общий вид модели ПЛР - Y=a +b*X+e.

Здесь X,Y – генеральные совокупности, a, b – параметры регрессии, e – СВ – ошибка. Наличие ошибки e отражает тот факт, что исследуемая зависимость является стохастической, т.е. . Природу ошибки в модели ПЛР рассмотрим позже. Заметим, что определив вид модели, мы решили задачу спецификации.

Очевидно, что определение значений для α и β принципиально невозможно, поскольку вся генеральная совокупность недоступна. Основная цель регрессионного анализа состоит в получении оптимальных оценок для этих параметров по имеющимся выборочным данным и оценке качества уравнения регрессии в целом.

Пусть имеется выборка объема n, т.е. набор пар (xi, yi), i=1,2,…,n. Построим корреляционное поле, т.е. множество точек на плоскости с координатами (xi, yi). Задача состоит в том, чтобы по имеющейся выборке построить наилучшим образом прямую Y=a+ b*X, которая бы была в некотором смысле «ближайшей» к точкам корреляционного поля. Полученные при этом значения параметров a и b являются оценками для параметров ПЛР α и β.

«Наилучшей» будем называть такую прямую, для которой сумма квадратов отклонений точек заданного корреляционного поля от соответствующих точек прямой наименьшая. Для определения параметров такой прямой, т. е. для решения задачи параметризации, используется метод наименьших квадратов.

6)Оценка коэффициентов парной линейной регрессии методом наименьших квадратов

Оценка параметров уравнения А₀ , А₁, А₂ осуществляется методом наименьших квадратов (МНК). В основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметра модели, при котором минимизируется сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических, полученных по уравнению регрессии.

S=∑ (Y_I – Y(X))²→MIN .2)

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии методом наименьших квадратов имеет след. вид:

N*A₀ + A₁*∑X = ∑Y

A₀*∑X+A₁*∑X²=∑X*Y (2.3)

N- объём исследуемой совокупности.

В уравнении регрессии параметр А₀ показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых факторов.

Параметр А₁ (А₂) – коэффициент регрессии, показывает на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу в его собственном измерении.

Если связь между признаками криволинейная и описывается уравнением параболы, то система нормальных уравнений будет иметь следующий вид:

N*A₀ + A₁*∑X + A₂*∑X² = ∑Y,

A₀*∑X+A₁*∑X²+A₂*∑X³=∑XYA₀*∑X²+A₁*∑X³+A₂*∑X⁴= ∑X²Y (2.4)

Оценка обратной зависимости между Х и У осуществляется на основе уравнения гиперболы. Тогда система нормальных уравнений выглядит так: N*A₀ + A₁*∑1/X = ∑X

A₀*∑1/X + A₁∑1/X² = ∑Y/X