25. Різновиди рівняння площини у просторі: за трьома точками, у відрізках на осях, нормальне.
За трьома точками:
Нехай задано три точки М1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2), M3(x3;y3;z3), а М(x;y;z) – деяка змінна точка площини. Ветори М1М=(x-x1;y-y1;z-z1) М1М2(x2-x1;y2-y1;z2-z1) I M1M3=(x3-x1;y3-y1;z3-z1) лежать у шуканій площині, тобто компланарні, тому мішаний добуток цих векторів дорівнює нулю (М1М*М1М2)*М1М3=0
Перепишемо цю рівність у координатній формі і одержимо рівняння площини за трьома точками:
Нормальне рівняння площини у просторі виводиться аналогічно нормальному рівнянню прямої на площині і має вигляд:
Хсоsa+ycosB+zcosj-p=0,
де cosa,
cosB,
cosj
– напрямні косинуси вектора нормалі,
р – довжина вектора нормалі,
Рівняння
площини у відрізках на осях має вигляд:
,
де a, b, c – відрізки, які відсікає площина
відповідно на осях Ох, Оу, Оz
27. Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності двох площин. Відстань від точки до площини
,
.
Двогранний кут
між площинами
і
дорівнюватиме ку-
ту між векторами
і
,
перпендикулярними до цих площин (рис.
2.21), тому
. (2.28)
Якщо площини
взаємно перпендикулярні, то
і, розкривши скалярний добуток у формулі
(2.28), дістанемо умову перпендикулярності
двох площин:
. (2.29)
Якщо площини і паралельні між собою, то їхні вектори і — колінеарні, а отже, відповідні координати пропорційні, і ми маємо умову паралельності двох площин
. (2.30)
За аналогією з
формулою знаходження відстані від точки
до прямої на площині можна записати
формулу знаходження відстані від точки
до площини
.
Вона набирає вигляду
.
29. Кут між прямими в просторі. Кут між прямою і площиною. Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини. Знаходження точки перетину прямої і площини
Кут
між двома прямими L1 i L2 визначається
кутом фі між напрямними векторами
цих прямих, а саме:
Умови паралельності та перпендикулярності двох прямих у просторі випливають з умов паралельності та перпендикулярності їх напрямних векторів:
Нехай
пряма L задана канонічним рівнянням
,
а площина
задана загальним рівнянням
Ax+By+Cz+D=0.
Нехай
- кут між нормальними векторами n=(A,B,C) і
напрямним вектором прямої l=(m;k;p).
Отримуємо:
-
формула кута між прямою і площиною
Умови паралельності і перпендикулярності прямої і площини:
Для
відшукання точки перетину прямої
і площини Ax+By+Cz+D=0 треба розв`язати систему
рівнянь
,
для чого перейдем від канонічного
рівняння прямої до її параметричного
рівняння
,
,
z=zo+pt. Підставивши їх у загальне рівняння
площини, знайдемо значення параметра
t=to. Отримане значення to підставляжмо у
параметричне рівняння прямої і знаходимо
шукану точку М(хо;уо;zo)
30. Поняття кривих ліній другого порядку. Дослідження рівняння другого порядку. Коло
Кривими лініями 2 порядку називають лінії, координати точок яких задовольняють рівняння другого степеня відносно цих координат.
Колом називається геометричне місце точок площини , рівновідалени від фіксованої точки- центра коло на відстані радіуса кола.
(х-х0)2+(у-у0)2=R2- рівняння кола.
х2+у2=R2-з центром в початку координат.
х2+у2+Ах+Ву+С=0-загальне рівняння.