78.Знаходження найбільшого та найменшого значення функції в області d

79.Первісна для заданої функції, її основні властивості

Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) – диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Будь-які дві первісні для заданої функції відрізняються дише на сталу С

80.Невизначений інтеграл і його властивості

Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається

, , (7.1)

де — знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

Рис. 7.2

dx — диференціал змінної інтегрування.

Властивості невизначеного інтеграла

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

(7.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

81.Метод безпосереднього інтегрування невизначених інтегралів

Метод безпосереднього інтегрування ґрунтується на використанні таблиці основних інтегралів, властивостей невизначеного інтеграла. Але в деяких випадках спочатку потрібно зробити алгебраїчні перетворення підінтегральної функції

82.Знаходження невизначених інтегралів методом заміни змінної

Метод підстановки (заміни змінної): f(x)dx=f((t))’(t)dt

Мета методу підстановки — перетворити даний інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема 4. Якщо f(x) — неперервна, а має непе- рервну похідну, то:

(7.6)

Наслідок.

(7.7)

Зауваження. Специфіка інтегрування невизначеного інтеграла не залежить від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи сама є функцією (на підставі інваріантності форми запису пер­шого диференціалу), тому, наприклад:

83.Знаходження невизначених інтегралів методом інтегрування частинами

Цей метод застосовується, якщо під знаком інтеграла є добуток функцій, причому хоча б одна з них не є степеневою. Формула інтегрування частинами має такий вигляд: . Ця формула застосовується, коли одержаний інтеграл менш складний, ніж данний

84.Інтегрування функцій, які містять у знаменнику квадратний тричлен.

Інтегрування виразів з квадратним тричленом.

85.Інтегрування функцій, які містять у знаменнику квадратний тричлен

Інтегрування виразів з квадратним тричленом.

а)D>0- розклад. на елемент. дроби

б) D=0- виділення повного кв

в) D<0-

ах²+bх+c=а(х²+ + )=а(х²+2х + )=

а( )

=².