1.2. Примеры решения задач
Пример 1. Уравнение движения
материальной точки вдоль оси имеет
вид:
,
где A = 2 м, B
= 1 м/с, C = 0,5 м/с3.
Найти координату
,
скорость
и ускорение
точки в момент времени t
= 2 c.
Решение: Координату найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A,B,C и времени t:
.
Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени:
В момент времени t = 2 c:
Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:
.
В момент времени t = 2 c.
.
Пример
2. Тело
вращается вокруг неподвижной оси по
закону
,
где
,
,
.
Найти полное ускорение точки, находящейся
на расстоянии r
= 0,1 м
от оси вращения, для момента времени t
= 4 c.
Решение: Полное ускорение тела, движущегося по криволинейной
траектории,
может быть найдено как геометрическая
сумма тангенциального ускорения
,
направленного
по касательной к траектории, и нормального
ускорения
,
направленного
к центру кривизны траектории (Рис. 1):
Рис. 1
Так
как векторы
и
взаимно
перпендикулярны, то абсолютное значение
ускорения
(1)
Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
где
- угловая скорость тела,
- угловое ускорение. Подставляя найденные
выражения для
в
формулу (1),
находим
.
(2)
Угловую скорость найдем, взяв производную от угла поворота по времени:
В момент времени t = 4 c угловая скорость = (20+2(-2)4) = 4 рад/с.
Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени:
Это
выражение не содержит времени,
следовательно, угловое ускорение
данного движения постоянно. Подставляя
найденные значения
и
,
и заданное значение
в формулу
(2)
получим
Пример
3. Шар
массой
,
движущийся горизонтально с некоторой
скоростью
,
столкнулся
c
неподвижным
шаром массой
.
Шары
абсолютно упругие, удар прямой,
центральный. Какую долю своей кинетической
энергии первый шар передал второму?
Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением:
(1)
где
– кинетическая энергия первого шара
до удара,
,
- скорость и кинетическая энергия
второго шара после удара.
Как
видно
из
формулы (3),
для определения
надо найти
.
При ударе
абсолютно упругих тел одновременно
выполняются два закона сохранения:
закон сохранения импульса и закон
сохранения механической энергии.
Пользуясь этими законами, найдем
.
По закону сохранения импульса, учитывая,
что второй шар до удара покоился,
получим.
(2)
по закону механической энергии
(3)
решая совместно уравнения (2) и (3), найдем
(4)
Подставим выражение (4) в формулу (1) и, сократив на , получим
.
Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии не изменится, если шары поменяются местами.
Пример
4. Через
блок в виде сплошного диска, имеющего
массу
= 80 г. (Рис. 2) перекинута тонкая гибкая
нить, к
концам которой подвешены грузы с массами
= 100 г
и
= 200 г.
С каким ускорением будут двигаться
грузы, если их предоставить самим себе?
Трением нити пренебречь.
Error: Reference source not found
Рис. 2
Решение:
Воспользуемся основными уравнениями
динамики поступательного и вращательного
движения. Для этого рассмотрим силы,
действующие на каждый груз в отдельности
и на блок. На первый груз действуют две
силы: силы тяжести
и сила
упругости (сила натяжения нити)
.
Спроектируем эти силы на ось
,
которую направим вертикально вниз и
напишем уравнение движения (второй
закон Ньютона) в координатной форме:
(1)
Уравнение движения для второго груза запишется аналогично:
(2)
Под
действием двух моментов сил
и
относительно оси
,
перпендикулярной плоскости чертежа,
блок приобретает угловое ускорение
.
Согласно основному уравнению динамики
вращательного движения
(3)
где
момент
инерции блока (сплошного диска)
относительно оси z.
Согласно
третьему закону Ньютона, силы
и
по
абсолютному значению равны силам
и
.
Воспользовавшись
этим, поставим в уравнение (3)
вместо
и
выражения для
и
,
получив
их предварительно из уравнений (1)
и (2):
После
сокращения на
и перегруппировки найденных членов
найдем интересующее нас ускорение.
(4)
Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная.
Поэтому массы и можно выразить в граммах, так, как они даны в условии задачи. Ускорение надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим:
Пример
5. Маховик
в виде сплошного диска радиусом
= 0,2 м
и массой
= 50 кг
раскручен до частоты вращения
= 480 мин-1
и предоставлен самому себе. Под действием
силы трения маховик остановился через
t
= 50 с.
Найти момент
сил
трения.
Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде:
(0)
где
- изменение момента импульса маховика,
вращающегося относительно оси z,
совпадающей
с геометрической осью маховика, за
интервал времени
,
- момент внешних сил (в нашем случае
момент сил трения), действующих на
маховик относительно той же оси. Момент
сил трения можно считать не изменяющимся
с течением времени (
),
поэтому
интегрирование уравнения (1)
приводит к выражению
(0)
При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса:
(3)
где
- момент
инерции маховика относительно оси z,
- изменение
угловой скорости маховика. Приравняв
правые части равенства (2)
и (3)
, получим
откуда
(4)
Момент инерции маховика в виде сплошного диска определяется по формуле
(5)
Изменение
угловой скорости
выразим
через конечную
и начальную
частоты вращения,
пользуясь
соотношением
.
Подставив
в формулу
(4)
найденное
выражение
и
,
получим
(5)
Проверим, совпадают ли размерности правой и левой частей равенства (5). Размерность левой части:
Размерность правой части:
что
совпадает с размерностью левой части.
Выпишем величины, входящие в формулу
(5) и произведем
вычисления:
= 50 кг,
=
0,2 м,
= 480 мин,
=
0, t
= 50 с
Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие.
Пример
6. Точка
совершает гармонические колебания с
частотой 10 Гц
(Рис. 3).
В момент времени, принятый за начальный,
точка имела максимальное смещение
=
1 мм.
Написать уравнение колебаний точки и
начертить график.
Решение: Уравнение колебаний точки можно записать в виде
, (1)
или
,
(2)
где
- амплитуда колебаний,
- циклическая частота,
-
время,
и
-
начальные фазы,
соответствующие форме записи (1)
и (2).
По
определению, амплитуда колебаний
.
(3)
Циклическая частота связана с частотой соотношением
. (4)
Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия в момент t = 0:
откуда
,
или
(5)
Изменение
фазы на
не изменяет
состояния
колебательного движения,
поэтому
можно принять
(6)
В случае второй формы записи получаем
или 
По тем же соображениям, что и в первом случае, находим
.
(7)
С учетом равенства (3) - (6) уравнения колебаний будут иметь вид:
где xmax = 1 мм = 10-3 м, v = 10 Гц.
Рис. 3