§3.3. Контр. Работа №3. Задача 3.3.

ВЫЯВЛЕНИЕ РАЗЛИЧИЙ В УРОВНЕ ИССЛЕДУЕМОГО ПРИЗНАКА

Методические рекомендации и схема решения задачи №3

Часто в психологической практике и исследовательской работе встречаются задачи, где необходимо сравнить между собой два (или более) множества данных при различных условиях или на разных (по возрасту, полу, профессии, национальности и т.д.) группах испытуемых. Такое сравнение осуществляется чаще всего по средним арифметическим или медианам.

Примером подобных задач может быть изучение сходства или различий в уровне агрессивности между девушками и юношами; в развитии рефлексии у детей младшего школьного и подросткового возраста; сравнение каких либо параметров (например, уровня логического мышления, коммуникативных способностей, социального интеллекта) в двух группах – успешных или неуспешных менеджеров и т.п.

Представим, что мы нашли среднее арифметическое уровня агрессивности в группе девушек и юношей, которые соответственно равны: М₁ = 18 и М₂ =23 . Разница между этими показателями составляет 5 единиц, и, казалось бы, можно сделать вывод о том, что уровень агрессивности юношей в среднем выше, чем уровень агрессивности девушек. Однако нужно помнить, что числовые значения показателя, образующие множества данных, являются случайными величинами; следовательно, оба средних арифметических также величины случайные. Тогда вполне возможно, что и различие между ними всего лишь случайное явление. Для установления факта случайности различий средних (или медиан) или его опровержения (т.е. доказательства достоверности различий) пользуются статистическими критериями.

Статистический критерий – это решающее правило, обеспечивающее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью (Суходольский Г.В., 1972). Статистические критерии обозначают также метод расчета определенного числа и само это число. По соотношению эмпирического и критического значений критерия мы можем судить, подстверждается или опровергается нулевая гипотеза (например, нулевая гипотеза о том, что различия незначимы).

Критерии делятся на параметрические и непараметрические. Критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (t-критерий Стьюдента, Критерий F и др.), называются параметрическими. Непараметрические критерии – это критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределения и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий Q Розенбаума, критерий U Манна-Уитни и др.). И параметрические, и непараметрические критерии имеют свои достоинства и недостатки, а также ограничения в применении. Так, параметрические критерии применяются в том случае, если значения признака измерены по интервальной шкале, распределение признака является нормальным), непараметрические же критерии позволяют оценить лишь средние тенденции, при этом распределение экспериментальных данных может быть любым.

Сравнение двух множеств данных производится в двух типичных ситуациях: зависимых или независимых выборок. Зависимыми называются выборки, когда результаты измерения некоторого свойства у испытуемых одной выборки влияют на результаты измерения этого свойства у испытуемых другой выборки. Классический пример – это измерение одного и того же параметра (качества, свойства, состояния, уровня умений и навыков) у одной и той же группы испытуемых по прошествии определенного промежутка времени, обычно после того, как было оказано некоторое воздействие. Это замер одного и того же качества "до" и "после" воздействия, например, уровня развития памяти у группы детей начальной школы до начала коррекционной программы по развитию памяти и после проведения этой программы. Измерение параметра должно проводиться по одной и той же методике. В этом случае сравнение двух рядов данных осуществляется попарно.

Независимыми называются выборки, когда диагностические данные, полученные на одной из них, не связаны с результатами, полученными на другой выборке. Простейшие примеры – изучение уровня тревожности у мальчиков и девочек; ценностей у представителей различных этнокультурных групп и т.д.

Для выявления различий в уровне исследуемого признака в двух независимых выборках используют обычно параметрический t-критерий Стьюдента и непараметрические критерии: Q-критерий Розенбаума, U-критерий Манна-Уитни, критерий Фишера (φ*).

t

t =

-критерий Стьюдента для выявления значимости различий рассчитывается по формуле (не путать с формулой для выявления значимости коэффициента корреляции):

г де М₁ и М₂ - средние арифметические в двух сравниваемых выборках;

m₁ и m₂ - ошибки средних величин (ошибки измерений), вычисленные по формуле:

г де δ – среднеквадратическое отклонение, а n₁ – объем выборки.

Разность средних значений считается статистически значимой, если t_эмп. > t_крит. для доверительной вероятности на уровнях значимости 0,05 или 0,01. Уровень статистической значимости – это вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны. Когда мы указываем, что различия достоверны на 5% уровне значимости, или при ρ ≤ 0,05, то мы имеем в виду, что вероятность того, что они всё-таки недостоверны, составляет 0,05.

Критические значения критерия Стьюдента (t_крит) для каждой выборки определяются по таблицам (см. прил. I, табл. 1) с учетом ее объема и числа степеней свободы (n¹). Число степеней свободы n¹ = n₁ + n₂ – 2.

Непараметрический критерий Q Розенбаума.

Критерий используется для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. В каждой из выборок должно быть не менее 11 испытуемых.

Для подсчета критерия Q Розенбаума можно использовать следующий алгоритм (Сидоренко Е., 2004).

1. Проверить, выполняются ли ограничения по количеству испытуемых в каждой выборке (не менее 11, количество испытуемых в первой и второй выборке должны быть близкими).

2. Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени возрастания признака. Считать 1 ту выборку, значения в которой предположительно выше, а выборкой 2 – ту, где значения предположительно ниже.

3. Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2.

4. Подсчитать количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S₁.

5. Определить самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.

6. Подсчитать количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S₂.

7. Подсчитать эмпирическое значение Q по формуле: Q = S₁ + S₂

8. По таблице 2 приложений определить критическое значение Q для данных n₁ и n₂ . Если Q _эмп. равно Q _крит. , или превышает его, нулевая гипотеза об отсутствии различий отвергается, то есть различия средних значений в двух выборках статистически значимы.

Пример подсчета Q-критерия Розенбаума (Сидоренко, 2004)

У двух групп юношей исследовался показатель вербального интеллекта. Одна группа состояла из студентов-физиков, а другая – студентов-психологов. Можно ли утверждать, что одна группа превосходит другую по уровню вербального интеллекта?

Индивидуальные значения вербального интеллекта в выборках студентов-физиков (n₁ =14) и студентов-психологов (n₂ =12 ) представлены в таблице:

Таблица 1

Студенты-физики			Студенты-психологи
№	Ф.И.	Показатель вербального интеллекта	№		Показатель вербального интеллекта
1	Л.Н.	132	1	К.Ц.	126
2	Н.О.	134	2	В.Н.	127
3	Д.Ж.	124	3	А.П.	132
4	Г.Щ.	132	4	Н.Г.	120
5	А.Е.	135	5	М.Л.	119
6	У.Е.	132	6	Д.Ш.	126
7	М.Р.	131	7	Р.Е.	120
8	В.Т.	132	8	О.Ж.	123
9	И.Д.	121	9	Е.Щ.	120
10	В.З.	127	10	И.Т.	116
11	С.Ч.	136	11	С.У.	123
12	Ф.П.	129	12	Д.Ч.	115
13	М.З.	136
14	К.Б.	136

Упорядочиваем по убыванию значения в обеих выборках:

Таблица 2

1 ряд - студенты-физики			2 ряд - студенты-психологи
№	Ф.И.	Показатель вербального интеллекта	№	Ф.И.	Показатель вербального интеллекта
1	С.Ч.	136
S1 2	М.З.	136
3	К.Б.	136
4	А.Е.	135
5	Н.О.	134
6	Л.Н.	132	1	А.П.	132
7	Г.Щ.	132
8	В.Т.	132
9	У.Е.	132
10	М.Р.	131
11	Ф.П.	129
12	В.З.	127	2	В.Н.	127
			3	К.Ц.	126
			4	Д.Ш.	126
13	Д.Ж.	124
			5	С.У.	123
			6	О.Ж.	123
14	И.Д.	121
			7	Р.Е.	120
S2			8	Е.Щ.	120
			9	Н.Г.	120
			10	М.Л.	119
			11	И.Т.	116
			12	Д.Ч.	115

Из таблицы видно, что в ряду 1 присутствуют более высокие значения, а во втором – более низкие значения. Далее – определяем количество значений первого ряда, которые больше максимального значения второго ряда: S₁ = 5. Количество значений второго ряда, которое меньше минимального значения первого ряда S₂ = 6.

Далее вычисляем Q _эмп. по формуле:

Q _эмп. = S₁ + S₂ = 5 + 6 = 11.

По таблице 2 Приложения I определяем критические значения Q для n₁ =14; n₂ = 12.

Q_кр. = 7 при ρ ≤ 0,05 и равно 9 при ≤ 0,01.

Так как наше Q _эмп. равно 11, что выше критического значения, то мы можем сделать вывод о том. что различия средних значений вербального интеллекта в двух наших выборках существенны или достоверны, то есть студенты-физики превосходят студентов-психологов по показателям вербального интеллекта.

Непараметрический критерий U Манна-Уитни.

Этот критерий позволяет выявлять различия по уровню какого-либо признака между малыми выборками, когда n₁, n₂ ≥ 3 или n₁ =2, n₂ ≥ 5.

При вычислении критерия пользуются правилом: чем меньше U_эмп. , тем более вероятно, что различия достоверны.

Алгоритм подсчета критерия U Манна-Уитни

1. Проранжировать значения в обоих рядах, независимо от их принадлежности к первой или второй выборке. Самому малому значению присвоить ранг 1.

2. Расположить значения признака в каждом ряду так, чтобы бóльшим значениям соответствовали бóльшие ранги, причем значения по убыванию остаются в своем ряду вместе со своими рангами.

3. Подсчитать сумму рангов отдельно в выборке 1 и в выборке 2. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.

4. Определить бóльшую из двух ранговых сумм.

5. О

   U = (n₁ · n₂) +

   пределить значение критерия U _эмп. по формуле:

Где n₁ и n₂ - количество испытуемых соответственно в выборке 1 и 2.

Т_х - большая из двух ранговых сумм;

n_x - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

6. Определить критическое значение критерия U по таблице 3 Приложения. Если U _эмп ≤ U_кр. , то различия значимы. Чем меньше значения U , тем достоверность различий выше.

Рассмотрим пример из книги Е. Сидоренко "Методы математической обработки в психологии" (2004).

У двух выборок студентов: физиков и психологов замерялся уровень невербального интеллекта. В выборке студентов физиков – 14 человек, студентов-психологов – 12.

Индивидуальные значения невербального интеллекта в этих двух выборках приведены в таблице.

Таблица 3.

Студенты-физики			Студенты-психологи
№	Ф.И.	Показатель невербального интеллекта	№		Показатель невербального интеллекта
1	Л.Н.	111	1	К.Ц.	113
2	Н.О.	104	2	В.Н.	107
3	Д.Ж.	107	3	А.П.	123
4	Г.Щ.	90	4	Н.Г.	122
5	А.Е.	115	5	М.Л.	117
6	У.Е.	107	6	Д.Ш.	112
7	М.Р.	106	7	Р.Е.	105
8	В.Т.	107	8	О.Ж.	108
9	И.Д.	95	9	Е.Щ.	111
10	В.З.	116	10	И.Т.	114
11	С.Ч.	127	11	С.У.	102
12	Ф.П.	115	12	Д.Ч.	104
13	М.З.	102
14	К.Б.	99

Проранжируем значения в обеих выборках, оставляя их в своем ряду согласно рангам, а затем подсчитаем ранговые суммы.

Таблица 4.

Подсчет ранговых сумм по двум выборкам

Студенты-физики (n1 =14)		Студенты-психологи (n2 =12)
Показатель невербального интеллекта	Ранг	Показатель невербального интеллекта	Ранг
127	26
		123	25
		122	24
		117	23
116	22
115	20,5
115	20,5
		114	19
		113	18
		112	17
111	15,5	111	15,5
		108	14
107	11,5	107	11,5
107	11,5
107	11,5
106	9
		105	8
104	6,5	104	6,5
102	4,5	102	4,5
99	3
95	2
90	1
Суммы 1501	165	1338	186
Средние 107,2		111,5

Общая сумма рангов: 165 + 186 = 351.

Большая из двух ранговых сумм (Т_х ) получилась в выборке студентов-психологов.

Определяем эмпирическую величину критерия U, исходя из вышеприведенной формулы:

12 · (12+1)

U _эмп. = (14 · 12) + - 186 = 60.

2

Поскольку в нашем случае n₁ ≠ n₂ необходимо подсчитать эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей n_x

14 · (14+1)

U _эмп. = (14 · 12) + - 165 = 108.

2

Для сопоставления с критическим значением выбираем меньшую величину U: U_эмп = 60.

По табл. 3 Приложения I определяем критические значения для соответствующих n, причем меньшее n принимаем за n₁ (n₁ = 12) и отыскиваем его в верхней строке Табл. 3 Приложения I. Большее n принимаем за n₂ ( n₂ = 14), и отыскиваем его в левом столбце табл. 3 Приложения I.

Uкр. = 51 ( при ρ ≤ 0,05) и

Uкр = 38 (при ρ ≤ 0,01 ).

Мы можем констатировать достоверные различия, если U_эмп. ≤ U_кр . Так как в нашем примере U_эмп. = 60 и оно больше U_кр , можно сделать вывод, что различия – незначимые (недостоверные). То есть, группа студентов-физиков не превосходит группу студентов-психологов по показателям невербального интеллекта.

Е.Сидоренко обращает внимание на то, что для данного случая критерий Q Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физиков шире, чем в группе психологов: ми самое высокое, и самое низкое значение невербального интеллекта приходится на группу физиков.