31. Гетероскедостичность и автокорреляция случайного члена.

В случае, когда имеющиеся статистические данные однородные, допущения о постоянстве дисперсии случайной компоненты оправданы. Если исходные данные неоднородны, то будет присутствовать гетероскедостичность случайной компоненты.

Третье условие Гаусса-Маркова требует отсутствие автокорреляции, т.е. E(u_i, u_j) = 0, i≠j. Если это условие нарушается, то мы имеем автокорреляцию случайной компоненты. Наиболее часто она встречается в регрессионном анализе в тех случаях, когда используются временные ряды. В этих случаях случайная компонента в уравнениях регрессии подвергается воздействию переменных, влияющих на зависимую переменную, но не включенных в уравнение регрессии.

Y_t = α + βx_t + u_t

Если значение случайной компоненты в любом наблюдении должны быть независимы от ее значения в предыдущем наблюдении, то и значение любой переменной «скрытой» в случайной компоненте должно быть неколлерированно его значением предшествующих наблюдений. Постоянная направленность воздействия невключенных в уравнение переменных является наиболее частой причиной положительной автокорреляции.

32. Автокорреляция первого порядка и критерий Дарбина – Уотсона.

U_t = ρu_t-1 + ξ_t

ξ_t – независимая случайная величина

ρ – коэффициент автокорреляции

-1<ρ<1

ρ >0 + автокорреляция

ρ <0 – автокорреляция

ρ =0 нет автокорреляции

Можно заменить: U_t e_t; U_{t -1} e_t-1

Оценить данное уравнение непосредственно нельзя, т.к. неизвестны значения случайной компоненты, но мы можем аппроксимировать значения случайной компоненты рядом остатков.

ρ = cov(e_t, e_t-1)/var(e_t)

d = Σ(e_t – e_t-1)/ Σe_t²

d 2-2ρ

d€[0;4]

Критические значения d при любом уровне значимости зависит от числа объясняющих переменных, количества регрессоров, включенных в уравнение, а так же от конкретных значений регрессоров, попавших в выборку, поэтому невозможно построить таблицу критических значений для всех возможных выборок, можно определить лишь верхние и нижние границы.

H₀: ρ = 0

H₁: ρ>0

α = 0,05

0<d<d_l - H₀ отвергается

d_u<d<2<4-d_u - H₀ не отвергается

4-d_l<d<4 - H₀ отвергается

d_l<d<d_u – зона неопределенности, не принимается и не отвергается ни одна из гипотез

33. Тест серий (критерий Бреуша – Годфри)

U_t = ρu_t-1 + ξ_t

e_t = ρe_t-1 + ξ_t

ρ – Коэффициент регрессии

Преимущество этого теста в том, что может быть использована и t-статистика и f-статистика; можем обобщить этот тест на любое количество временных промежутков, что позволяет выявить корреляцию не только между соседними наблюдениями но и между отдаленными.

34. Тест на гетероскедостичность: Голдфелда – Квандта, тест Уайта.

Тест Голдфелда – Квандта используется в том случае, если ошибки регрессии можно считать нормально распределенными случайными величинами.

Предположим, что σ_i пропорцональны значениям некоторой объясняющей переменной х.

Упорядочим ряд остатков в порядке возрастания регрессора х и выберем m первых и m последних членов ряда.

Гипотеза о гомоскедостичности будет равносильна тому, что значения e₁, e₂,…,e_m и e_n-m+1…e_n представляют собой выборочные наблюдения нормально распределенной величины, имеющей одинаковые дисперсии.

Эта гипотеза проверяется при помощи критерия Фишера:

H₀: σ_i² = σ_k² = … = const

H₁: σ_i² ≠ σ_k²

F_ф = Σ(1;m)e_i²/Σ(n-m+1;n)e_i²>F_кр(α;m-p;m-p)

P – число регрессоров включенных в модель

Если вся выборка делится на три части, то мощность критерия максимальна.

Тест Уайта:

В этом случае предполагается, что дисперсия ошибок регрессии представляет собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров.

σ_i² = f(x_i)

Тест строится следующим образом:

Сначала получаем остатки модели, затем осуществляется регрессия квадратов этих остатков на все константы.

e_i² = a + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃ + b₄x₁² + b₅x₂² + b₆x₃² + b₇x₁x₂ + b₈x₁x₃ + b₉x₂x₃

Затем гипотеза об отсутствии гетероскедостичности принимается в случае незначимости регрессии в целом.

35. Системы регрессионных(одновременных) уравнений. Рассмотрим простейшую макроэкономическую модель Кейнса.

Сt = альфа + BYt + Ut (1)

Yt = Ct + It (2)

Ct – совокупное или агрегированное потребление в году t

Yt – нац доход, произведенный в году t

It – инвестиции в экономику в году t

Альфа, В – параметры модели, В – склонность к потреблению

Yt = альфа + BYt + Ut + It

Yt = альфа/(1-B) + (1/(1-B))*It + (1/(1-B))*Ut (3)

Первые два слагаемых показывают, что совокупный уровень доходов зависит от постоянной составляющей объема потребления и от объема инвестиций. Если объем инвестиций возрастает на 1 ед, то совокупный доход возрастает на 1/(1-B)

Поскольку уравнение 3 включает случ составляющую, то она автоматически оказывается коррелированной со случ компонентой в 1 ур-ии. Нарушается 3е условие Гаусса-Маркова и оценки по МНК будут смещенными, а Se будут некорректны.

Модель формирования доходов говорит о том, что величина С зависит от нац дохода Y и случ компоненты U, но такое понимание является упрощенным. Исходя из того, что (2) можно считать одновременно верным и неверным можно считать, что нац доход у зависит от агрегированного потребления. Верным это можно считать, т.к. из тождества 2 следует что изменение агрегированного потребления ведет к изменению у, а неверным это считается, т.к. в экономике сущ жесткие причины следственной связи, поэтому нац доход сначала должен быть произведен а лишь затем распределен. Чтобы разрешить эту ситуацию необходимо выразить и У и С или их действительные детерминанты, т.е. через I и u. Для У мы это уже сделали и получили (3), для получения аналогичного выражения для С подставим (3) в (1) и после преобразований получим:

Ct = α + β(α/(1- β) + 1/(1- β) *It+1/(1- β) *ξt)+ ξt= α + βα/(1- β) + β/(1- β) *It+β/(1- β) *ξt+ ξ = =α/(1- β) + β /(1- β) *It+1/(1- β) *ξt (4)

В (3) и (4) Ct и Уt – выражены через действительные детерминанты.