Позиционные системы счисления: перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.
Правило 5. Перевод правильных и неправильных дробей из одной системы счисления в другую, если основания этих систем являются степенями двойки, осуществляется по тем же правилам, что и для целых чисел.
Правило 6. Перевод правильных и неправильных дробей из любой системы счисления в десятичную осуществляется также как и для целых чисел, представлением этого числа либо в виде полинома (4), либо в виде схем Горнера (2, 5) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.
Правило 7. Для перевода правильных дробей в систему счисления с основанием p, последовательно умножают исходную дробь и дробные части промежуточных произведений на основание системы счисления p. Полученные в результате умножения целые числа произведения являются соответствующими разрядами дробного числа в системе счисления с основанием p.
В частном случае, если знаменатель правильной дроби представляет некоторую степень цифры 2, т.е.
то числитель a переводится в двоичную систему счисления как целое число, которое записывается в k разрядах после запятой.
Правило 8. Перевод неправильных дробей в систему счисления с основанием p выполняется отдельно для целой и дробной части числа по вышеизложенным правилам с последующим соединением этих частей в одну запись – неправильную дробь, представленную уже в новой системе счисления.
Представление отрицательных двоичных чисел. Прямой, обратный и дополнительный коды. Арифметические действия над числами с использованием дополнительного кода.
Существует несколько способов представления отрицательных двоичных чисел.
Прямой код.
Согласно этому коду число представляется посредством значения и знака, причем значение записывается в двоичной системе счисления, а бит знака занимает самый старший разряд поля представления двоичного числа. Если число положительное, то бит знака равен 0, если отрицательное, то 1.
Обратный код.
Обратный код отрицательного двоичного числа формируется заменой всех нулей прямого кода этого числа на единицы, а всех единиц на нули, кроме бита знака. Принято, что обратный код положительного числа полностью соответствует прямому.
Возможно получение обратного кода отрицательного числа в любой системе счисления. В этом случае цифры числа определяются из соотношения
где m – основание системы счисления, a – цифра числа, записанного в прямом коде.
Дополнительный код.
Дополнением числа A будет число Aдоп = K – A > 0, где K = mn – константа дополнения, m – основание системы счисления, n – максимальное количество разрядов для представления чисел. Отсюда получаем правило: для получения дополнительного кода отрицательного двоичного числа надо к обратному коду числа прибавить единицу.
Принято также, что дополнительный код положительного числа совпадает с прямым кодом.
В ЭВМ для представления отрицательных чисел и выполнения двоичных арифметических операций над целыми числами используется дополнительный код. Вычитание С = А - В при этом выполняется следующим образом:
выравниваются уменьшаемое А и вычитаемое В по числу разрядов;
определяется дополнительный код вычитаемого В и производится сложение этого кода с уменьшаемым А;
если разность – число положительное, то бит переноса из старшего (знакового) разряда необходимо отбросить (тем самым как бы удалить из результата константу дополнения).
Пример. Пусть необходимо найти разность 5 – 2:
0.101 [+5]пр=[+5]доп
+ 1.110 [-2]доп
0.011 [+3]пр =[+3]доп
если разность – число отрицательное (бит старшего разряда 1), то результат представлен в дополнительном коде (константа дополнения осталась в результате). Для определения абсолютного значения отрицательного результата, необходимо применить к нему операцию вычисления дополнения (т.к. дополнение от дополнения есть исходное число).
Пример. Пусть необходимо найти разность 2 – 5:
0.010 [+2]пр=[+2]доп
+ 1.011 [-5]доп
1.101 [-3]доп