Позиционные системы счисления: основные понятия, представление целых неотрицательных и дробных чисел.
Совокупность приемов и правил представления чисел с помощью цифровых знаков называется системой счисления.
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на 2 типа:
непозиционные;
позиционные.
В непозиционных системах счисления значение любой цифры не зависит от занимаемой ею позиции в числе. Например, римская система, в которой в числе XXX каждый разряд означает 10 единиц (L – 50, C – 100, D – 500, М – 1000). В непозиционных системах счисления не представляются дробные и отрицательные числа, действия над числами связаны с большими трудностями и не имеют правил.
В позиционных системах счисления значение любой цифры в числе зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих это число.
Основным понятием любой позиционной системы счисления является основание. Оно показывает:
сколько различных цифр в системе счисления;
во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
В зависимости от основания различают следующие системы счисления:
десятичную (Dec) (0, 1, 2, 3,…, 9);
восьмеричную (Oct) (0, 1, 2,…, 7);
двоичную (Bin) (0, 1);
шестнадцатеричную (Hex) (0, 1,…, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)).
Любое целое неотрицательное число, записанное в позиционной системе счисления:
можно представить в виде степенного ряда (полинома):
Максимальное целое число, которое может быть представлено в l разрядах:
Qmaх= ml -1.
В ЭВМ для представления информации (данных) используется двоичная система счисления. Ее достоинства:
используется только 2 символа (цифры) 0 и 1, что хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем, имеющих, как правило, 2 устойчивых состояния;
в двоичной системе легко реализуются арифметические операции над числами.
Недостаток: длинные числа, которые неудобно записывать. Двоичное представление числа требует примерно в 3,3 раза большего числа разрядов, чем его десятичное представление.
В общем случае любое неотрицательное число (смешанную дробь), представленное в позиционной системе счисления, вида:
можно записать в виде полинома:
Здесь k – количество разрядов в дробной части числа, l – количество разрядов в целой части числа. Старший разряд имеет обозначение al-1, а младший – a-k.
Минимальное значащее (не равное 0) число, которое можно записать в k разрядах дробной части:
Qmin=m-k.
Имея в целой части числа l, а в дробной k разрядов, можно записать всего ml+k разных чисел.
Позиционные системы счисления: перевод целых чисел из одной системы счисления в другую, арифметические действия над числами без знака.
Правило 1. Каждая цифра числа с основанием m представляется k цифрами системы счисления с основанием p и наоборот.
По этому правилу осуществляется перевод между 16-ричной и 2-ичной системами: 161=24 и между 8-ричной и 2-ичной системами: 81=23. В первом случае одна шестнадцатеричная цифра заменяется четырьмя двоичными цифрами (тетрадой) и наоборот. Во втором случае одна восьмеричная цифра заменяется тремя двоичными цифрами (триадой) и наоборот.
Правило 2. Перевод чисел из 8-ричной системы в 16-ричную систему и наоборот осуществляется через 2-ичную систему счисления.
Правило 3. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную осуществляется представлением этого числа либо в виде полинома (1), либо в виде схемы Горнера (2) и выполнением арифметических действий в десятичной системе счисления.
Правило 4. Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием p надо переводимое число и целочисленные промежуточные частные последовательно делить на основание p-й системы счисления до тех пор, пока не будет получено целое частное, меньшее основания p. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков от деления, начиная с последнего частного, представляющего собой старшую цифру числа.
Для выполнения арифметических операций над числами, представленными в любой позиционной системе счисления надо пользоваться известными правилами арифметики.
Сложение многоразрядных чисел начинается с младшего разряда и производится поразрядно с учетом единиц переноса из предыдущих разрядов.
Вычитание двух многоразрядных чисел начинается с младших разрядов с учетом при необходимости переноса единиц (количество которых соответствует основанию системы счисления) из старших разрядов.
Умножение и деление двух многоразрядных чисел в любой системе счисления выполняется по правилам десятичной системы счисления.
Существует еще одна арифметическая операция, часто выполняемая над двоичными числами – сложение по модулю 2.
Эта операция выполняется поразрядно и определяется следующим образом:
