5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями. 1) Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые. 2) Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку — прямые пересекаются.
3) В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a
Теорема
1. Свойство
скрещивающихся
прямых.
Скрещивающиеся
прямые не определяют плоскость.Доказательство
от противного. Пусть даны скрещивающиеся
прямые а
и
b.
Прямая
а
лежит
в плоскости a,
а прямая b
пересекает
плоскость a
в точке
А
(АÏa).
Пусть прямые а
и
b
определяют
плоскость β.
Прямая а
и
точка
А
одновременно принадлежит и
плоскости a,
и плоскости β,
значит, плоскости a
и
β
совпадают, с |
|
b
= K K
a
=> a и b - скрещивающиеся прямые.
ледовательно,
все точки плоскости β
принадлежат плоскости a,
Значит, прямая b
принадлежит
плоскости a,
чего быть не может, так как по условию
плоскость a
и
прямая b
пересекаются.
Пришли к противоречию, значит, прямые
а
и
b
не
определяют
плоскость. Ч.т.д.
|
С
инус
угла между скрещивающимися
прямыми равен отношению длины проекции
одной из прямых на плоскость, к которой
другая прямая перпендикулярна, к её
длине. Доказательство.
Пусть а
и с
- скрещивающиеся прямые, a
- плоскость
перпендикулярная прямой а.
Для простоты
доказательства построим такой чертеж,
где роль прямой
а играет
отрезок A1B1,
прямой с
- АС,
плоскости a - прямоугольник ВСС1B1.
Сделаем параллельный перенос отрезка
A1B1
в прямую
АВ. Угол
между прямыми
а
и с есть
угол между прямыми АВ и АС. Треугольник
АВС прямоугольный (по
построению). В нем ВС – проекция АС на
плоскость ВСС1B1.
Синус угла
ВАС равен
отношению отрезка ВС к
АС. Другими
словами синус угла между скрещивающимися
прямыми а
и с
равен
отношению длины проекции одной
прямой на плоскость, в которой лежит
другая, к длине этой же прямой.
6.Скрещивающиеся прямые. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны).
Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. a b = K K a => a и b - скрещивающиеся прямые. Теорема 1. Свойство скрещивающихся прямых. Скрещивающиеся прямые не определяют плоскость.Доказательство от противного. Пусть даны скрещивающиеся прямые а и b. Прямая а лежит в плоскости a, а прямая b пересекает плоскость a в точке А (АÏa). Пусть прямые а и b определяют плоскость β. Прямая а и точка А одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости β, значит, плоскости a и β совпадают, с ледовательно, все точки плоскости β принадлежат плоскости a, Значит, прямая b принадлежит плоскости a, чего быть не может, так как по условию плоскость a и прямая b пересекаются. Пришли к противоречию, значит, прямые а и b не определяют плоскость. Ч.т.д. |
|
Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми нужно: - Найти плоскость, перпендикулярную одной из скрещивающихся прямых; - Ортогонально спроектировать вторую прямую на эту плоскость; - Из точки пересечения плоскости первой прямой опустить перпендикуляр на проекцию второй прямой ( расм. на примере куба)