12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.

Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании а, а > 0, a  1.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида (7) где b  R.

Если то решением неравенства (7) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x).

Если логарифмированием по основанию a неравенство (7) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a:

1) если то в результате логарифмирования получают неравенство

2) если то после логарифмирования приходят к неравенству

Далее решают в зависимости от вида выражения f(x).

Если исходное неравенство имело знак < или , или , то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае и не изменяется в случае

II тип: неравенство вида (8)

Для решения неравенства (6.13) (или аналогичных ему со знаками , <, ) используют монотонность логарифма:

1) если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно неравенству которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);

2) если то неравенство (8) равносильно неравенству

III тип: неравенство вида (9) где F – некоторое выражение относительно

Вводят замену переменной и решают относительно переменной y неравенство

Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют) записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.

Если переменная содержится и в основании степени, и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степен­ным. Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т. е. решают совокупность систем неравенств.

Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно.

В частности, аналогом показательного неравенства (8) является следующее показательно-степенное неравенство (10)

Его решение сводится к решению совокупности:

13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).

Типы уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).

I тип: уравнение вида: (1) где c  R. ОДЗ:

На указанной ОДЗ уравнение (1) решают по определению логарифма:

II тип: уравнение вида (2) ОДЗ:

На основании равенства логарифмов, уравнение (2) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению: (3).

ОДЗ:

Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:

III тип: уравнения, решаемые заменой переменной (4), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют и решают уравнение

Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность

Полученные корни проверяют по ОДЗ.

З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (1)–(4) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.