- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •Функциональные методы
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •2. Способ замены.
- •3. Разложение на множители.
- •4. Однородные тригонометрические уравнения вида
- •5. Универсальная замена.
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17. Решение уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции
- •18. Метод интервалов при решении тригонометрических неравенств
- •19. Графики функций и уравнений. Основные преобразования графиков функций
- •1) Область определения функции и область значений функции.
- •3) Пересечение с осями коорд.
- •6) Точки экстремума
- •7) Периодическость функции.
- •21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •24. Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •25. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •26. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •27. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •Основные соотношения между элементами треугольника
- •2. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •3.Медиана треугольника. Теоремы связанные с медианами треугольника. Формулы для нахождения медиан
- •4.Биссектриса треугольника. Теоремы связанные с биссектрисами треугольника. Формулы для нахождения биссектрис
- •5. Метод площадей.
- •6.Теорема Чевы
- •7.Теорема Менелая
- •8. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •9.Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд
- •Свойства хорд
- •10. Свойства секущих и касательных к окружности.
- •11. Измерение углов, связанных с окружностью
- •12. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •13. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •14. Прямая Эйлера
- •15. Окружность Эйлера
- •16. Вневписанная окружность.
- •17. Основные виды четырехугольников, их св-ва и признаки
- •18. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •19. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •20. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •21. Теорема Птолемея.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •5.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.Использование параллельности для построения сечений многогранников.
6) Точки экстремума
7) Периодическость функции.
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.
Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).
21. Основные тригонометрические функции и их св-ва
Тригонометрические функции (функции угла) определяются следующими равенствами:
синус: sinα=y, т.е. ордината точки M;
косинус: cosα=x, т.е. абсцисса точки M;
тангенс: tgα=x/y, т. е. отношение ординаты к абсциссе точки M;
котангенс: ctgα=y/x, т. е. отношение абсциссы к ординате точки M.
Функция синус
Функция косинус
Функция тангенс
Функция котангенс
22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арксинусом
Арксинусом числа х, где называется такое число у, синус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .
2. Функция на отрезке имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом.
Арккосинусом числа х, где называется такое число у, косинус которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .
3. Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом. Арктангенсом числа х, называется такое число у, тангенс которого равен числу х. Обозначают: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .
4. Функция на промежутке имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом. Арккотангенсом числа х, называется число у, котангенс которого равен числу х. Обозначается: Таким образом, – это угол у, измеренный в радианах, такой, что Для любого имеем , .
Функции , , , называют обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями.
Некоторые важные тождества: ,
,
, , .
y = arccos x.
y = arcsin x.
y = arctg x.
2
y = arcctg x.
3. использование свойств функций для решений уравнений и неравенствПри решении уравнений и неравенств смешанного типа приходится применять свойства элементарных функций: область определения, область значений, монотонность, ограниченность, четность и нечетность, периодичность.
Ограниченность множества значений функции
Уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнений f(x)=A; g(x)=A, если для всех x€X справедливы неравенства f(x)≤A и g(x)≥A.
Монотонность функции
1) Если функция f возрастает (убывает) на множестве X, то уравнение f(x)=A на множестве X имеет не более одного корня.
2) Если функция f возрастает (убывает), а функция g убывает (возрастает) на множестве X, то уравнение f(x)=g(x) на множестве X имеет не более одного корня.
3) Если f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения f(x)=x и f(f(x))=x равносильны.
Периодичность функции
1) Сумма двух функций с соизмеримыми периодами T1 и T2 является функция с периодом НОД(T1,T2).
2) Сумма двух функций с несоизмеримыми периодами является непериодической функцией.
3) Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.
Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций и , входящих в уравнение . Этот метод, не являющийся строгим решением, может помочь установить: а) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их; б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.
Использование области опр.
В начале решения уравнения полезно найти область определения уравнения. Если она состоит из нескольких точек, то остается только проверить, какие из них удовлетворяют уравнению. Если область определения – пустое множество, то уравнение не имеет решений. Если же область определения более сложная или ее вычисление связано с трудностями, используется другой метод.