31. Области устойчивости сау. Метод корневого годографа. Критерий Вышнеградского. Метод d-разбиения. Области устойчивости сау

При проектировании САУ обычно требуется определить влияние изменяемых параметров на устойчивость. Для этого строят область устойчивости системы в пространстве изменяемых параметров. Область устойчивости определяет совокупность значений параметров системы, при которых она устойчива. На рисунке линией изображена граница устойчивости. Для указания, с какой стороны границы находится область устойчивости, вдоль нее наносится штриховка, которая обращена в сторону области устойчивости. Каждая точка внутри области определяет комбинацию параметров, при которых система устойчива. Все пространство вне области устойчивости называется областью неустойчивости. Все ее точки соответствуют значениям параметров, при которых система неустойчива.

Область устойчивости

Метод корневого годографа

Корневым годографом называется геометрическое место корней характеристического уравнения при изменении одного из параметров САУ от 0 до . Характеристическое уравнение замкнутой САУ представляется в виде , где v – переменный параметр САУ (k или Т). Далее, изменяя v от 0 до , необходимо найти перемещение всех корней характеристического уравнения. Другие параметры звеньев САУ заданы и определяются из условий конкретной реализации САУ. Если при изменении v от 0 до при определенном v корень характеристического уравнения попадает на мнимую ось, то САУ будет на границе устойчивости; при тех v, когда часть корней переходит слева направо мнимую ось, САУ будет неустойчива. Предложены правила, которыми пользуются при исследовании влияния параметров САУ на ее устойчивость методом корневого годографа.

Критерий Вышнеградского

В первые область устойчивости системы прямого действия в плоскости двух коэффициентов уравнения была построена русским ученым И.А. Вышнеградским. Иногда ее называют критерием Вышнеградского для характеристического уравнения 3-го порядка: или в его нормированном виде (форме Вышнеградского): где – новая переменная, – среднегеометрический корень, – параметры Вышнеградского.

Критерий Вышнеградского

Метод d-разбиения

Метод D-разбиений разработан Ю.И. Неймарком. В этом методе используется характеристическое уравнение замкнутой САУ: При где – исследуемые параметры.

32. Инвариантность. Основные понятия. Ковариантность. Абсолютная инвариантность. Селективная инвариантность. Методы построения инвариантных САУ. Комбинированное управление. Количественные оценки инвариантности.

Инвариантность. Основные понятия.

Инвариантность управляемой (регулируемой) переменной y(t) САУ к возмущениям и ковариантность с задающим воздействием являются важнейшими требованиями к про­цессу управления в САУ. В теории инвариантности приняты сле­дующие определения:

- САУ является инвариантной по отношению к возмущающему воздействию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, управляемая (регулируемая) величина y(t) и ошибка системы не зависят от этого воздействия;

- САУ является инвариантной по отношению к задающему воздействию g(t), если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ошибка x(t) системы не зависит от этого воздействия.

Ковариантность.

Во втором определении рассматривается инвариантность ошибки САУ к задающему воздействию , т.е. управляемая переменная y(t) должна совпадать с задаю­щим воздействием . Этот факт обозначается термином «ко­вариантность». Следовательно, ковариантность переменных означает их совпадение (близость). Управляемая (регулируемая) переменная y(t) должна быть ковариантной с задающим воз­действием g(t).

Абсолютная инвариантность.

если R(р)=0,то x_вын(t)0, что соответствует абсолют­ной инвариантности системы по отношению к входному воз­действию , которое может быть любой функцией времени. Под абсолютной инвариантностью переменной понимается полная независимость вынужденных движений от воздействий . Для САР условие абсолютной инвариантности переменной x(t) записывается так: . Очевидно, что при этом условии не будет ни переходной, ни установившейся составляющей x(t) при любых ограниченных воздействиях. Но могут быть свободные движения из-за ненулевых начальных ус­ловий.

Селективная инвариантность.

Селективная инвариантность трактуется как обобщение по­нятия астатизма САУ на воздействия произвольного вида. Известно, что астатические САУ способны подавлять возмущаю­щие и/или воспроизводить задающие степенные воздействия с нулевой или постоянной установившейся ошибкой. Изображения степенных воздействий (6.1.4) имеют нулевые полюсы кратности . Соответственно, передаточные функции аста­тических САУ, рассматриваемые от входа до выхода , имеют нули кратности . В случае селективной инвариантности к воздействию произвольного вида передаточная функция САУ обращается в нуль на необязательно нулевых полюсах р_i. изображения . При этом селективная абсолютная инвари­антность обобщает случай, когда порядок астатизма превы­шает степень воздействия 1 (), а селективная инвариант­ность до - случай, когда порядок астатизма равен степени воздействия ().

Методы построения инвариантных САУ. Комбинированное управление.

Под комбинированным управлением (регулированием) понимается такой метод построения замкнутых САУ, когда наряду с регулированием по отклонению или по ошибке используется управление (регулирование) по задающему или возмущающему воздействию. Таким образом, в системе комбинированного управления осуществляется управление (регулирование) по замкнутому и разомкнутому циклам.

При введении регулирования по задающему воздействию для получения абсолютной инвариантности необ­ходимо вводить первую и высшие производные от задающего воздействия. Однако абсолютная инвариантность - свойство идеальных систем, которое практически не реализуемо. На прак­тике все работоспособные системы обладают инвариантностью до и/или селективной инвариантностью, однако количествен­ная мера инвариантности может быть различной.

Количественные оценки инвариантности.

Рассмотрим вначале количественные оценки инвариантности до . Логично в качестве таких оценок рассматривать меры откло­нения реакций исследуемой САУ от абсолютно инвариантной системы или, иными словами, предлагается использовать «рас­стояние» исследуемой САУ до абсолютно инвариантной системы.

При полной неопределенности условий работы САУ пред­лагается использовать либо интегральную оценку вида

где w(t) - весовая (импульсная переходная) функция;

- амплитудно-фазовая частотная характеристика;

W_х(р) - передаточная функция,

либо максимум амплитудной частотной характеристики (АЧХ) на всем диапазоне частот

(6.3.1)

Примеры АЧХ абсолютно инвариантной и инвариантной до систем представлены на рис. 6.3

Рис.6.3 – АЧХ инвариантных систем:

1 – абсолютно инвариантной; 2 инвариантной до