- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
Розв’язання. Так як , то порівняння має один клас розв’язків.
! Теоретичні відомості !
Нехай задано порівняння , . Тоді якщо – чисельник передостаннього підхідного дробу у розкладі у ланцюговий дріб, то
.
Розкладемо дріб у ланцюговий дріб:
– |
297 |
107 |
– |
107 |
83 |
598 |
83 |
||||
|
83 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
– |
83 |
24 |
– |
24 |
11 |
72 |
22 |
||||
|
11 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
– |
11 |
2 |
– |
2 |
1 |
10 |
2 |
||||
|
1 |
|
|
0 |
|
Отже, . Знаходимо чисельник передостаннього підхідного дробу:
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
– |
– |
2 |
1 |
3 |
2 |
5 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
11 |
25 |
136 |
– |
Таким чином,
.
Відповідь. .
Контрольна робота № 6
1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
С
!
Теоретичні відомості !
На
практиці схема Горнера реалізується
за допомогою таблиці. Нехай задано
многочлен
.
… … Коефіцієнти
,
.
Значення
многочлена в точці
дорівнює
,
тобто
.
Також
можна записати, що
,
де многочлен
.
Будуємо таблицю
|
1 |
0 |
– 3 |
2 |
– 1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
|
2 |
1 |
4 |
9 |
|
|
2 |
1 |
6 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Покажемо схематично, як заповнюється клітина в схемі Горнера:
.
Аналізуючи таблицю, робимо висновки:
1) значення заданого многочлена в точці ;
2) шуканий розклад за степенями :
.
! Теоретичні відомості !
Коефіцієнти пов’язані з -ю похідною многочлена в указаній точці :
.
Відповідь. ,
.