- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
Розв’язання. Для заданого порівняння , .
! Теоретичні відомості !
Якщо символ Лежандра , то порівняння розв’язків не має. Якщо ж символ Лежандра , то порівняння має два класи розв’язків.
Знаходимо символ Лежандра . З того що, , маємо, що
.
Так як , то задане порівняння розв’язків не має.
Відповідь. Порівняння розв’язків не має.
3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
Розв’язання.
! Теоретичні відомості !
Ціле число називається первісним коренем за модулем , якщо и .
Якщо число 3 є первісним коренем за модулем 7, то кожне число від 1 до 6 повинно бути представлено залишком від ділення деякого степеня трійки на сім.
Знайдемо функцію Ейлера від 7.
! Теоретичні відомості !
Якщо – просте число, то .
Так як сім – це просте число, то . Переконаємось, що :
.
Тепер покажемо, що :
,
,
,
,
.
Отже, все вище наведене, показує, що трійка є первісним коренем за модулем сім.
Побудуємо таблицю індексів за модулем 7.
! Теоретичні відомості !
Число називається індексом числа за основою , якщо , . Позначається
У даному випадку , . Наприклад, , тому :
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6 |
2 |
1 |
4 |
5 |
3 |
4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
а) ; б) .
Розв’язання. а) Спочатку перетворимо коефіцієнти порівняння так, щоб вони стали натуральними числами, що не перевищують 97:
.
! Теоретичні відомості !
Властивості індексів
Нехай – просте число, – первісний корінь за модулем , – деякі цілі числа, тоді:
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Проіндексуємо отримане порівняння та використаємо вище наведені властивості:
,
.
Знайдемо відповідні індекси, для цього використаємо таблиці індексів, що знаходяться в додатках. У лівих таблицях у рядку «Модулі» знаходимо 97, а у стовпчику «Числа» знаходимо 41, на перетину рядка і стовпчика знаходиться число 85, тобто . Аналогічно знаходимо, що . Позначимо .
Порівняння приймає вид:
.
Розв’язавши його, знаходимо, що
,
тобто
Використовуючи таблиці антиіндексів (праві таблиці у додатках), знаходимо, що
.
б) Індексуємо обидві частини заданого порівняння:
,
,
,
,
.
Таким чином
Відповідь. а) .
б)
5. За допомогою індексів розв’язати показникове порівняння а) ; б) .
Розв’язання. а) Індексуємо обидві частини конгруенції
.
або
Перевіримо порівняння на розв’язність: , але , тому порівняння розв’язків не має.
б) Індексуємо:
.
Дане порівняння має один клас розв’язків, так як . Знайдемо його за допомогою метода Ейлера:
.
Функція Ейлера
,
тобто
.
Отже, .
Відповідь. а) порівняння розв’язків не має.
б) .
Контрольна робота № 5