- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
Розв’язання типового варіанта
Контрольна робота № 1
1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
Р озв’язання. а) .
Запишемо задане комплексне число у тригонометричній формі. У нашому випадку , тоді
,
.
Таким чином,
.
! Теоретичні відомості !
Показникова форма комплексного числа: .
Знаючи модуль та аргумент комплексного числа, запишемо показникову форму заданого числа:
.
б) .
Для заданого комплексного числа дійсна та уявна частина рівні відповідно , . Тоді
, .
Отже, .
в) .
! Теоретичні відомості !
Якщо дійсна частина комплексного числа дорівнює нулю, то таке число називається чисто уявним.
У даному випадку , а отже , . А таким чином,
.
Відповідь. а) .
б) .
в) .
2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
Розв’язання. а) .
! Теоретичні відомості !
.
.
Н аведемо геометричну інтерпретацію:
б) .
! Теоретичні відомості !
Комплексне число називається спряженим до комплексного числа .
Щоб поділити два комплексних числа, потрібно ділене й дільник домножити на спряжене до дільника. Тобто
.
Г еометрична інтерпретація:
в) Знайти всі розв’язки рівняння .
! Теоретичні відомості !
Формула Муавра:
.
Спростимо:
.
Розглянемо комплексне число , тоді . Запишемо число у тригонометричній формі:
, ,
тобто . Звідси маємо, що
.
Або
,
, ,
, .
Відповідь. а) .
б) .
в)
3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
Розв’язання. а) .
Нехай , тоді
, ,
, .
Отже задану нерівність можна переписати у вигляді:
.
Д ля від’ємних , тобто для , отримана нерівність виконується автоматично. Тому далі будемо розглядати випадок, коли Після спрощення маємо: . Отриману множину точок зобразимо на рисунку:
б)
З образимо на комплексній площині ті точки, аргумент яких , а уявна частина :
4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
Розв’язання. Відомо, що якщо – корені квадратного рівняння , то вказане рівняння можна записати у вигляді . А отже звідси маємо, що шукане рівняння можна записати наступним чином:
.
Розкриємо дужки та виконаємо операції над комплексними числами:
,
.
Розв’яжемо отримане рівняння. Знайдемо дискримінант:
.
Корінь із дискримінанту будемо шукати у вигляді . Тобто
.
! Теоретичні відомості !
Два комплексні числа та називаються рівними, якщо у них рівні дійсні та умовні частини відповідно:
.
Таким чином, для знаходження невідомих значень та отримуємо систему:
розв’язавши яку, маємо, що або . Розглядаючи будь-яку з отриманих пар, наприклад першу, маємо, що , а отже
,
.
Відповідь. .
5. Записати дану тригонометричну функцію
а) у вигляді лінійної комбінації тригонометричних функцій кратних дуг;
б) через функції та .
Розв’язання. а) 1 спосіб.
! Теоретичні відомості !
Формули Ейлера:
, .
! Теоретичні відомості !
Біном Ньютона:
.
Зокрема:
, .
За формулою Ейлера , тоді
.
2 спосіб. Розглянемо комплексне число .
! Теоретичні відомості !
Для комплексного числа
, .
Тоді
.
! Теоретичні відомості !
Якщо комплексне число задане в тригонометричній формі , то для піднесення його до степеня треба модуль піднести до цього степеня, а аргумент помножити на показник степеня, тобто
.
Таким чином,
.
б) Розглянемо комплексне число . Піднесемо його до кубу. З одного боку, за формулою Муавра
.
Тобто . З іншого
.
Для отриманого виразу .
Отже,
.
Відповідь. а) .
б) .
Контрольна робота № 2