- •Завдання Контрольна робота № 1 «Комплексні числа»
- •Контрольна робота № 2 «Цілі числа. Числові функції»
- •Контрольна робота № 3 «Порівняння»
- •Розв’язання типового варіанта
- •1. Комплексне число представити в тригонометричній і показниковій формах.
- •2. Комплексне число представити у вигляді . Навести геометричну інтерпретацію.
- •3. Знайти множину точок на площині комплексного змінного , яка визначається наступними умовами (графічно).
- •4. Скласти квадратне рівняння, яке має корені . Розв’язати його.
- •5. Записати дану тригонометричну функцію
- •1. Для чисел та :
- •2. Для числа знайти значення функції Ейлера від , суму й число усіх натуральних дільників.
- •1. З’ясувати, чи є система залишків за модулем повною. Побудувати приведену систему залишків за цим модулем.
- •2. Перевірити, чи має порівняння першого степеня розв’язки. У разі позитивної відповіді розв’язати порівняння методом випробування повної системи залишків.
- •3. Методом алгебраїчних перетворень знайти розв’язки порівняння першого степеня .
- •4. Знайти останню цифру числа .
- •5. Використовуючи метод Ейлера знайти розв’язок порівняння першого степеня .
- •6. Розв’язати систему порівнянь першого степеня за допомогою китайської теореми про залишки та за допомогою алгебраїчних перетворень.
- •1. Обчислити символ Лежандра .
- •2. Перевірити, чи має розв’язок порівняння .
- •3. Перевірити, чи є число 3 первісним коренем за модулем 7. У разі позитивної відповіді побудувати таблицю індексів за даним модулем.
- •4. За допомогою індексів розв’язати порівняння
- •1. Перетворити у ланцюговий дріб число . Знайти підхідний дріб .
- •2. За даним скінченним ланцюговим дробом знайти відповідний звичайний нескоротній дріб і всі його підхідні дроби.
- •3. Записати нескінчений періодичний дріб у вигляді квадратичної ірраціональності.
- •4. Розв’язати порівняння першого степеня за допомогою ланцюгових дробів.
- •1. Використовуючи схему Горнера, обчислити та розкласти многочлен за степенями , якщо .
- •2. Визначити всі раціональні корені многочлена .
- •3. Використовуючи метод Кардана, розв’язати кубічне рівняння .
- •4. Методом Феррарі знайти розв’язки рівняння четвертого степеня .
- •1. Відділити кратні корені многочлена .
- •2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
- •3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
- •4. Симетричний многочлен від трьох змінних виразити через елементарні.
- •5. Знайти значення виразу , де – корені многочлена .
- •Література
2. За допомогою теореми Штурма відділити дійсні корені многочлена .
Розв’язання. Складаємо поліноми Штурма:
.
Знаходимо . В якості многочлена можна взяти многочлен , тобто (нагадаємо, що при побудові многочленів Штурма їх можна, для зручності, множити на додатні числа).
Знаходимо, залишок від ділення многочлена на :
– |
||
|
Звідси (Залишок потрібно брати з протилежним знаком). Аналогічно знаходимо залишок від ділення на :
– |
||
– |
||
|
Отже, .
Таким чином, система Штурма
, , , .
Визначимо знаки поліномів Штурма при та . Будуємо таблицю:
Число змін знаків |
|||||
– |
+ |
– |
+ |
3 |
|
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
Так як , то поліном має рівно три дійсних кореня.
Обчислимо величини при інших значеннях :
0 |
– |
– |
+ |
+ |
1 |
Так як , то один корінь додатний, а тоді два кореня від’ємні.
1 |
– |
0 |
+ |
+ |
1 |
З того, що , робимо висновок, що на проміжку коренів немає.
2 |
+ |
+ |
+ |
+ |
0 |
Як бачимо, , тобто на проміжку многочлен має один дійсний корінь .
Так як більше додатних коренів многочлен не має, то надалі будемо розглядати від’ємні значення змінної .
– 1 |
+ |
0 |
– |
+ |
2 |
Обчислимо , тобто проміжку належить один дійсний корінь . Залишилося відділити ще один дійсний від’ємний корінь.
– 2 |
– |
+ |
– |
+ |
3 |
Так як , то третій дійсний корінь многочлена належить проміжку .
Відповідь. , , .
3. Довести незвідність многочлена над полем , використовуючи критерій Ейзенштейна.
Доведення.
! Теоретичні відомості !
Незвідним над полем називається многочлен з раціональними коефіцієнтами, який не розкладається на добуток многочленів ненульового степеня з раціональними коефіцієнтами.
! Теоретичні відомості !
Критерій незвідності Ейзенштейна. Нехай задано многочлен . Якщо існує просте число таке, що та , то поліном є незвідним над полем .
Для заданого многочлена існує таке просте число , що , а . Отже, згідно критерію Ензенштейна, многочлен є незвідним над полем .