25. Виды средних величин и формулы их расчета

Выбор средней определяется экономической сущностью показателя, т.е. природой экономического явления и содержанием исходных данных. Рассматриваются 2 класса средних величин:

1. степенные средние (X_ст )

2. порядковые средние (структурные или распределительные)X_стр )

Степенные средние имеют исходную математическую модель степенной средней

X_ст - степенная средняя

 - показатель степени средней

X – текущее значение признака

n – количество вариантов

В экономико-статистических работах преимущественно используются степенные средние 4 видов:

При =-1 – средняя гармоническая_гарм

При =0 – средняя геометрическая_геом

При =+1 – средняя арифметическая_арифм

При =+2 – средняя квадратичная_кв

При одних и тех же данных, чем больше , тем больше значение средних величин. Это положение укладывается в правило мажорантности. Оно состоит в следующем : если по одной и той же совокупности данных рассчитать все виды степенных средних, то_гарм _геом _ар _кв

Практическое требование сводится к умению правильного выбора модели степенной средней для конкретной информационной ситуации, что гарантирует надежность этой средней. Введем понятия и обозначения:

 - признак, по которому находится средняя величина, называемая осредняемым признаком

 - варианты или конкретные величины осредняемого признака

f – частоты или индивидуальная повторяемость значений признака

Средняя арифметическая вычисляется в тех случаях, когда объем осредняемого признака образуется как сумма его значений у отдельных единиц статистической совокупности.

Объем варьирующего признака – осредняемый признак, который меняет количество, может рассматриваться как x и xfx – для не сгруппированных данных или равных f fx – для сгруппированных данных или равных f. Это числители расчетных моделей. Для исходного несгруппировочного ряда числитель рассчитывается как f, для сгруппированной информации (рядов распределения) числитель может рассчитываться как x при равных f или xf при неравных f (частотах).

Объемы совокупностей – знаменатель; может рассчитываться как n (для несгруппированных данных или равных f), f (для сгруппированных данных или неравных f)

_ар(прост) = x / n;

_ар(прост) = (x₁+x₂+…+xn)/n;

_ар (взвешен)=xf / f;

где xf – взвешивание,

_ар(взвешен) = (x₁f₁+x₂f₂+…+xnfn)/(f₁+f₂+f₃+…+ fn)

Частость – относительная величина структуры, которая рассчитывается как W=f/Σf. Вместо частот могут быть использованы частости (доли), тогда

_ар(взвешен) = (x₁w₁+x₂w₂+…+xnwn)/(w₁+w₂+…+wn)

Сумма частостей равна 1, если n выражена в коэффициентах, или 100%, если W - в процентах. Пример:

Цена, ден. ед	кол-во ед.	кол-во ед.			Установить среднюю цену
(x)	f ́	f ˝	w ́	w ˝
100	10	20	66,6	0,666	Осредняемый признак - цена
105	10	5	16,7	0,167	x –варианты
115	10	5	16,7	0,167	f – частоты
	30	30	100,0	1,0

1. Цены = вся выручка/кол-во проданных товаров

= (1000+1050+1150)/(30)=106,7

Для первого варианта использована _ар(прост), т.к. частоты ряда равны между собой и алгебраически сокращаются.

Цены = (100*20+115*5+105*5)/(20+5+5)=103,3

Использована_ар(взвешен) =(x₁f₁+x₂f₂+…+xnfn) / (f₁+f₂+f₃+…+ fn) = xf / f для второго случая, т.к. частоты ряда не равны между собой и смещены в сторону минимального значения.

1. Цены = (x₁w₁+x₂w₂+…+xnwn) / (w₁+w₂+…+wn) = (100*66,6+105*16,7) / (66,6+16,7+16,7) = 103,34

Цены =(100*0,666+105*0,167+115*0,167) / (0,666+0,167+0,167) = 103,34

В третьем и четвертом случаях была использована формула _ар (взвешен) = (x₁w₁+x₂w₂+…+xnwn) / (w₁+w₂+…+wn), т.к. частости (доли) не равны и смещены в сторону минимального значения. Причем, в третьем случае использовались частости в процентах, а в четвертом – в коэффициентах.

Упрощенные способы расчета средней арифметической основаны на некоторых математических свойствах средних:

• от уменьшения или увеличения частот каждого значения Х в простой средней арифметической не изменится xf / f= 0,01 Σхw₂, где w₁ = (f/Σf)*100, и w₂=f / Σf вместо f используют w.

Следовательно,_ар можно рассчитывать на основании не только частот, но частостей, выраженных как в %, так и в коэффициентах.

• если каждую варианту разделить или умножить на произвольное число i, то истинная средняя уменьшится или увеличится во столько же раз (Σ(хi)f) / ΣF=x*I;

((x / I)f) / f=x*(1*i)

Это свойство позволяет находить кратный делитель и значительно упрощать технику вычислений.

• если от каждой варианты вычесть или к каждой варианте прибавить постоянную величину, то средняя уменьшится или увеличится на эту величину

((х  А)f) / f=(x  A)

• cредняя сумма (разность) двух величин равна сумме (разности) двух средних

XY=X Y

Пример: 1 ряд 2 ряд

10 30 X+Y=(30+70) / 2=50

20 40

x=30 y=70 X+Y=15+35=50

x=15 y=35

сумма отклонений значений признака Х от _ар равно 0

(x -x) = 0 - дляХ_прост

(х-х)f = 0 – дляХ_взвеш