- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
24. Теорема Лагранжа:
Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Это означает, что приращение дифференциальной функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некой точке этого отрезка.
Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a), она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля:
1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+ (f(b)-f(a)/b-a)*(x-a),
2) F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0-(f(b)-f(a)/b-a),
3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b).
Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)- (f(b)-f(a)/b-a)=0, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)..
ИНАЧЕ: теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши [Если f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] дифференцируемы на интервале (а,b) причем g’(x) не равно 0, для x принадлежащего (a,b) то найдется хотя бы одна точка с прин. (a,b) такая что выполняется неравенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)]. Правда: если положить g(x)=x, то g(b)-a(a)=b-a, g’(x)=1, g’(c)=1. Подставив значения в формулу (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c), выйдет f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)
Замечание: равенство f(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Геометрически: найдется такая точка С, в которой касательная к графику параллельна секущей АВ.
Следствие: если f’(x)=0 на неком промежутке, то на нем f(x) постоянна.
25. Правила Лопиталя
Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при х®х0 есть неопределённость вида [0/0] если предел каждой из них равен нулю. Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.
Теорема Лопиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что оба предела равны нулю, g’(x)¹0. тогда если существует предел limf’(x)/limg’(x) = A, то существует и limf(x)/limg(x) = A и они равны между собой.
Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥], только условие lim=lim=∞
26. Монотонность
Функция называется возрастающей(убывающей) на промежутке D, если для любых чисел х1 и х2 из этого промежутка таких что х1<х2, выполняется f(х1)<f(х2).Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.
Необх.условие: Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция возрастает(убывает), то f’(х)>=0 (…) для всех х (а; b).
Дост.условие: Если функция дифференцируема на (а; b) и f’(х)>0 (f’(х)<0) для всех х(а;b), то эта функция возрастает(убывает) на (а;b).
27. Экстремумы (Док-во: файл)
Точка х0 называется точкой максимума функции, если существует такая d-окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0), и точкой минимума, если f(x)>f(x0).
Значение функции в точке макс(мин) называется максимумом(минимумом) функции. Максимум(минимум) функции называется экстремумом функции.
Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю.
Достаточное условие экстремума: 1. если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума). 2. Если в точке х0 первая производная функции ф(х) равна нулю, а вторая в точке х0 существует и отлична от 0, то при ф”(х0)<0 в точке х0-функция имеет максимум, при ф”(х0)>0 в точке х0-минимум.