- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
1. Числовая последовательность ….
Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3…n, поставлено в соответствие число x, то множество вещественных чисел, х1,х2,х3….хn, называется числовой последовательностью. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.
Предел числ.посл-ти: А=limxn, если для любого положительного числа Е существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |a –A|<E .
Последовательноть имеющая предел называется сходящейся limхn =а.
Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел (limxn=a, n->беск., Сущ.!).
(Д-во: Рассм. какой нибудь второй предел limxn=b. Т.к. xn->беск., n->беск., то сущ. N1 такой, что для любого n>N1.
Пусть E=b-a/2. Тогда: a-E<xn<a+E, a-(b-a/2)<xn<a+(b-a/2). Если рассм. правую часть (xn<a+(b-a/2)): т.к. xn->b, То сущ. N2 такой, что для любого n>N2. /xn-b/<E => b-E<xn<b+E, b-(b-a/2)<xn<b+(b-a/2), и b+a/2<xn<3b-a/2. При n>N = max {N1;N2} выполняется a+b/2<xn<a+b/2, что неверно).
2. Монотонные…
Последовательность {x} называется возрастающей (неубывающей) если для любого n выполняется неравенство a >a (a >=a ). Аналогично и для убывающей (невозрастающей) послед-ти. Все эти последовательности называются монотонными.
Последовательность называется ограниченной сверху(снизу) если существует число M(m) такое, что любой элемент этой последовательности (xn) удовлетворяет неравенству /хn/<M
Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е существуеют числа m и M такие что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: m<x <M.
Теорема: монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.
Ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости. Следовательно, если монотонная последовательность ограничена то в силу этой теоремы она сходится, следоввательно она ограничена (по теореме).
Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72. Число е принято за основание натуральных логарифмов.
3. Функцией
есть процесс отображения, т.е. ситуация, когда каждому элементу х множества Х сопоставляется один элемент у множества У. Переменная у называют зависимой переменной, а переменную х – независимой (или аргументом), множество Х –областью определения функции, а множество У –множество значений функции.
Способы задания функций:
1)аналитический-зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнять, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента
2) описательный (sign= +1, x>0; -1; x<0)
3)графический
Элементарные - которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф.действий. Непрерывна в кажд.точке.
Свойства: 1) Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=f(x). Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=-f(x).
2) x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на
x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей
x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей
x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей
для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.
ЛЮБАЯ СТРОГО МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ ОБРАТНУЮ!
3)Функцию определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если сущ. такое число М>0, что для всех х(прин.)D выполняется неравенство |f(x)|<M Тогда график такой функции лежит между прямыми у=-М и у=М.
Пусть Х и У – некоторые множества и пусть задана функция f , т.е. множества пар чисел (х; у). Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у;х), которое называется обратной функцией к функции f.
Если на некотором промежутке Х определена функция z=φ(x) с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция у=f(z), то функция у=f[φ(x)] называется сложной функцией от х, а переменная z – промежуточной переменной сложной функции.