- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
11. Точки разрыва
Если в точке х0 требование непрерывности нарушается, то говорят, что функция в точке х0 терпит разрыв/имеет точку разрыва. Требование непрерывности: предел справа существует и конечен, предел слева существует и конечен, они равны между собой и равны значению функции в точке.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции справа и слева, но не равны между собой
limf(x)=A1 при x->x0-0
limf(x)=A2 при x->x0+0, но A1 не равен А2; если эти пределы равны, то разрыв называется устранимым.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
12. Вейерштрасс
Если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
13. Второй замечательный предел.
lim(1+1/x)^x=e (x->беск.)
д-во см. скан
следствия см. скан
14. Производная функции ….
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)
y’= lim(f[x0+дельта(х)]-f(x0)/дельта(х)
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+Dx;f(x0+Dx))на графике функции называется секущей.
Геометрический смысл производной: производная функции в точке ч0 равна угловому коэффициенту касательный к графику функции в данной точке.
Необходимое условие: если f(x) имеет производную в х0, то она должна быть в ней непрерывна.
Д-во: пусть y=f(x) дифф. в х. Значит, есть предел limDELTAy/DELTAx=f’(x) (DELTAx->0). Отсюда по теореме о связи функции ее предела и б.м.ф. [Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б.м.ф. а(х), т.е. если lim(f)=A, то (f)=A+a(x).] имеем DELTAy/DELTAx=f’(x)+a, a->0 при DELTAx->0, DELTAy=f’(x)*DELTAx + a*DELTAx. Переходя к пределу, выходит, что ghb DELTAx->0 lim(DELTAy)=0 – стало быть, у=f(x) непрерывна в точке х.
15. Вычисление производных
-
(u + v)’=u’ + v’
-
(uv)’= u’v + uv’
-
(u/v)’= u’v – uv’/v^2
-
(cu)’ = cu’
-
y=f(g(x)) => f’(g(x))*g’(x)
16. Таблица производных (см. Шпору)
17. Производная сложной функции
y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0).
Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому
18. Производные высших порядков
Производная n-ого порядка является производной от производной (n-1)-го порядка, т.е y(пор.n)=(у(n-1))’
Вторая производная показывает выпуклости графика функции: вторая пр больше нуля – выпуклый вниз