- •1. Числовая последовательность ….
- •2. Монотонные…
- •3. Функцией
- •4. Пределы.
- •7. Свойства пределов
- •8. Предельный переход в неравенстве (д-во
- •9. Первый замечательный предел
- •10. Непрерывность
- •11. Точки разрыва
- •12. Вейерштрасс
- •13. Второй замечательный предел.
- •14. Производная функции ….
- •15. Вычисление производных
- •16. Таблица производных (см. Шпору)
- •17. Производная сложной функции
- •18. Производные высших порядков
- •19. Классификация б.М.Ф.
- •20. Дифференциал.
- •21. Дифференцируемость
- •22. Теорема Ферма:
- •23.Теорема Ролля:
- •24. Теорема Лагранжа:
- •25. Правила Лопиталя
- •26. Монотонность
- •27. Экстремумы (Док-во: файл)
- •28. Выпуклость (Док-во: файл)
- •29. Асимптоты
- •30. Формула Тейлора
- •31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)
- •32. Функции нескольких переменных
- •33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.
- •34. Частные производные
- •35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)
- •36. Производная по направлению
- •37. Градиентом функции
- •38. Свойство градиента двух переменных.
- •39. Экстремумы (теоремы с доказательствами)
- •40. Условный экстремум.
- •41. Первообразная и неопределенный интеграл.
- •42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.
- •43. Таблица интегралов (см. Шпору)
- •44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.
- •45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)
- •46. Свойства определенного интеграла.
- •47. Среднее значение.
- •48. Интеграл с верхним пределом
- •49. Формула Ньютона-Лейбница
- •50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)
- •51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования
- •52 Несобственные интегралы от неограниченных функций
7. Свойства пределов
Предел функции единственен при x->x0.
Пусть lim f(x) = А и lim g(х) = В. По теореме 17.7 имеем:
0 = lim (fх) - f(х)) = lim f(х) - lim fх) = А - В., откуда А=В.
Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов;
Пусть lim fix) = A, lim gx) = В. Тогда по теореме 17.5 о связи
функции, ее предела и б.м.ф. можно записать f(х) = А + а(х) и g (х) = В + b(х). Следовательно, f(x) + g(x) = А + В + (а(х) + b(х)). Здесь а(х) + b(х) — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (f(х) + g(х)) = А + В, т. е.
lim (f(х) + g{х)) = lim f(х) + lim g(х). (Везде: x->x0)
В случае разности функций доказательство аналогично.
4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов (х->х0)
Следствие:1.постоянный множитель можно выносить за знак предела.
2.предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.
5)Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.
8. Предельный переход в неравенстве (д-во
Теорема. Если limxn=a (n->беск.), limуn=b (n->беск.), и начиная с некоторого номера n xn<=yn, то а<=b.
Д-во: Допустим, что a>b. Из равенств пределов последовательностей limxn=a и limуn=b следует, что для любого E>0 найдется такое натурольное число N(E), что при всех n>N(E) будут выполняться неравенства |xn-a|<E и |yn-b|<E, иначе, a-E<xn<a+E, b-E<yn<b+E. Примем E=(a+b)/2 – тогда Xn>a-E = a – ((a-b)/2)=(a+b)/2, xn>(a+b)/2, yn<(a+b)/2, стало быть, Xn>Yn, что противоречит Xn<=Yn. Стало быть, a<=b.
9. Первый замечательный предел
lim(sinx/x)=1 x->0 (см. скан)
10. Непрерывность
Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке.
limf(x)=f(x0) x->x0
Если функция непрерывна на промежутке, то подразумевается, что она непрерывна в каждой точке этого промежутка.
Свойства
Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности х0 и непрерывны в точке х0, тогда 1. функции f+g, f*g, непрерывны в точке х0, а функция f/g непрерывна, если g(x0)¹0.
2. Функция g(f(x)) непрерывна в точке х0 (суперпозиция)
3. элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения, в окрестностях которых они определены.
Свойства функций, непрерывных на отрезке:
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], То:
-
она на нем достигает макс и мин и ограничена на нем
-
и значения на концах не равны, то принимает все промежуточные значения (Больцано-Коши)
-
f(a) и f(b) разных знаков, то есть точка с, что f(c)=0
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа (limf(x) [x->a+0] = f(a), а в точке х=b непрерывна слева (limf(x) [x->b-0] = f(b).
Свойства
Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|£c для всех xÎ[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.
Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.