5. Законы сохранения в механике

Горизонтально летящая пуля пробивает брусок, лежащий на гладкой горизонтальной поверхности. В системе «пуля – брусок» …

			импульс сохраняется, механическая энергия не сохраняется
			импульс сохраняется, механическая энергия сохраняется
			импульс не сохраняется, механическая энергия сохраняется
			импульс не сохраняется, механическая энергия не сохраняется

Решение: Закон сохранения импульса выполняется в замкнутых системах. Система «пуля - брусок» не является замкнутой, так как на нее действуют сила притяжения к Земле и сила реакции опоры. Однако проекции этих сил на горизонтальное направление равны нулю, поэтому проекция импульса системы на указанное направление не изменяется. Поскольку речь идет о горизонтально летящей пуле и брусок может двигаться только в горизонтальном направлении, можно утверждать, что импульс системы сохраняется. Закон сохранения механической энергии выполняется в консервативных системах. В данном случае внешние силы консервативны (силами трения между бруском и гладкой поверхностью можно пренебречь), но есть внутренние неконсервативные силы, действующие в системе в момент пробивания пулей бруска и совершающие работу. Поэтому механическая энергия рассматриваемой системы не сохраняется.

График зависимости кинетической энергии от времени для тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, имеет вид, показанный на рисунке …

Решение: Кинетическая энергия тела , где  и  – проекции скорости тела  на оси OX и OY соответственно. Для тела, брошенного под углом α к горизонту, , . Тогда . Это уравнение параболы со смещенной вершиной, ветви которой направлены вверх, причем . Поэтому график зависимости кинетической энергии тела, брошенного с поверхности земли под некоторым углом к горизонту, от времени имеет вид:

Человек, стоящий в центре вращающейся скамьи Жуковского, держит в руках длинный шест. Если он повернет шест из вертикального положения в горизонтальное, то …

			угловая скорость скамьи и кинетическая энергия уменьшатся
			угловая скорость скамьи уменьшится, кинетическая энергия увеличится
			угловая скорость скамьи увеличится, кинетическая энергия уменьшится
			угловая скорость скамьи и кинетическая энергия увеличатся

Решение: Согласно закону сохранения момента импульса . Здесь J – момент инерции человека с шестом и скамьи относительно оси вращения,  – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Тогда . Поскольку при повороте шеста из вертикального положения в горизонтальное момент инерции системы увеличивается, то угловая скорость вращения уменьшается. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: . Тогда . Таким образом, кинетическая энергия системы уменьшится.

21. Диск и обруч, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания с одинаковыми скоростями на горку. Если трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то отношение высот , на которые смогут подняться эти тела, равно

1

Решение: В рассматриваемой системе «тело – Земля» действуют только консервативные силы. Поэтому в ней выполняется закон сохранения механической энергии, согласно которому , или , где J – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс,  – угловая скорость вращения вокруг этой оси, h – высота, на которую сможет подняться тело. Отсюда с учетом того, что , получаем: . Моменты инерции диска (сплошного цилиндра) и обруча (полого цилиндра) равны соответственно  и . Тогда искомое отношение высот .

22. Шар массы m₂, движущийся со скоростью , налетает на покоящийся шар массы m₁ (рис. 1). Могут ли после соударения скорости шаров,  и, иметь направления, показанные на рис. 2 (а и б)?1) могут в случае б 2) могут в случае а 3) могут в обоих случаях 4) не могут ни в одном из указанных случаев

Решение: Согласно закону сохранения импульса, должно выполняться соотношение . В ситуации, показанной на рис. 2а, это соотношение не выполняется. Таким образом, этот случай противоречит закону сохранения импульса. Случай, показанный на рис. 2б, вообще говоря, возможен.

При этом должны сохраняться проекции импульса системы соударяющихся шаров на направление скорости  и перпендикулярное ему.

23. Фигурист вращается вокруг вертикальной оси с определенной частотой. Если он прижмет руки к груди, уменьшив тем самым свой момент инерции относительно оси вращения в 2 раза, то …

частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения возрастут в 2 раза

частота вращения фигуриста возрастет в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза

частота вращения фигуриста уменьшится в 2 раза, а его кинетическая энергия вращения – в 4 раза

частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия вращения уменьшатся в 2 раза

Решение: Согласно закону сохранения момента импульса, . Здесь J – момент инерции фигуриста относительно оси вращения,  – угловая скорость его вращения вокруг этой оси. Отсюда с учетом того, что , где n – частота вращения, . Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна: . Тогда . Таким образом, частота вращения фигуриста и его кинетическая энергия возрастут в 2 раза.