- •«Самарский государственный
- •Архитектурно-строительный университет»
- •Е. А. Крестин
- •Примеры решения задач
- •По гидравлике
- •Самара 2006
- •Введение
- •Основные буквенные обозначения, принятые в курсе гидравлики
- •1. Физические свойства жидкости
- •Примеры
- •2. Гидростатика
- •2.1. Гидростатическое давление
- •Примеры
- •2.2. Сила гидростатического давления на плоскую поверхность
- •Примеры
- •2.3. Сила гидростатического давления на криволинейную поверхность
- •Примеры
- •2.4. Плавание тел
- •Примеры
- •3. Уравнение д. Бернулли
- •3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
- •Примеры
- •3.2. Уравнение д. Бернулли с учетом потерь энергии
- •Примеры
- •4.Истечение жидкости из отверстий и насадков
- •4.1. Истечение жидкости из отверстий
- •4.2 Истечение жидкости из насадков
- •Примеры
- •Приложение. Справочные данные
- •Соотношение единиц, подлежащих изъятию, с единицами си
- •Основные данные для расчета местных сопротивлений
- •Библиографический список
- •Содержание
3. Уравнение д. Бернулли
3.1. Уравнение д. Бернулли без учета потерь энергии
Уравнение Д. Бернулли для потока невязкой жидкости (без учета потерь энергии), составленное в отношении произвольно выбранной плоскости сравнения, имеет следующий вид:
Левая часть уравнения представляет собой сумму двух видов энергии: потенциальной, состоящей из энергии положения и энергии давления , и кинетической энергии , отнесенных к единице веса движущейся жидкости. Коэффициент кинетической энергии потока , входящий в уравнение Д. Бернулли при движении невязкой жидкости, может быть принят равным единице.
Многие практические задачи, связанные с установившимся движением жидкости, решаются совместным применением уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности (сплошности) потока.
Уравнение неразрывности может быть записано в следующем виде:
откуда
где V1 и V2 — средние скорости в сечениях потока;
и — соответствующие площади живых сечений.
Примеры
3.1. Определить расход воды в трубе диаметром , имеющей плавное сужение до диаметра , если показания пьезометров: до сужения ; в сужении . Температура воды .
Решение. Составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, принимая за плоскость сравнения ось трубы:
.
Учитывая, что , пренебрегая потерями напора, т. е. принимая , и полагая,получим:
.
Из уравнения неразрывности расхода имеем:
.
Поскольку
; ,
находим:
.
Обозначим
.
Тогда уравнение Бернулли запишется в виде
,
откуда найдем скорость в сечении 1-1:
.
Расход воды в трубе
,
где μ – коэффициент, учитывающий уменьшение расхода вследствие потерь напора; в первом приближении принимаем μ=0,98; тогда расход будет
.
Коэффициент μ зависит от отношения диаметров и числа Рейнольдса:
;
.
Найдем скорость в сужении трубы
.
Кинематическую вязкость воды примем: (табл. П-12).
С учётом полученных данных найдем число Рейнольдса
.
По табл. П-25 находим μ =0,98. Следовательно, в первом приближении значение μ принято верно.
Искомый расход .
Замечание: Рассмотренное сужение трубы с плавными переходами от большего диаметра к малому и от малого к большому называется водомером Вентури.
Ответ: .
3.2. Определить, на какую высоту поднимается вода в трубке, один конец которой присоединён к суженному сечению трубопровода, а другой конец опущен в воду. Расход воды в трубе , избыточное давление , диаметры и .
Решение. Уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно оси трубы (потерями напора пренебрегаем) имеет вид (при )
.
Учитывая, что скорости в сечениях 1-1 и 2-2 находятся так
и ,
то после преобразований получим:
Полученная отрицательная высота – вакуумметрическая высота. На эту высоту и поднимается вода в трубке.
Ответ: .
3.3. Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима к турбулентному, в трубе диаметром d = 0,03 м при движении воды и воздуха при температуре 25˚C и глицерина при температуре 20˚C.
Решение. Из формулы для критического числа Рейнольдса имеем:
.
Для воды
.
Для воздуха
.
Для глицерина
.
3.4. Определить давление р1 в сечении 1-1 горизонтально расположенного сопла гидромонитора, необходимое для придания скорости воде V2 = 40 м/с в выходном сечении 2-2, если скорость движения воды в сечении 1-1 V1 = 3 м/с.
Решение. Данная задача может быть решена при помощи уравнения Д. Бернулли и уравнения неразрывности.
При составлении уравнения Д. Бернулли следует выбрать два сечения в рассматриваемом потоке и плоскость сравнения, по отношению к которой записывается уравнение для двух выбранных сечений. Эти сечения и плоскость сравнения выбираются так, чтобы наибольшее количество величин, входящих в уравнение, были известными, а в уравнение входили искомые величины.
При решении данной задачи удобно использовать сечения 1 — 1 и 2 — 2, поскольку скорости в этих сечениях заданы, давление p1 подлежит определению, а давление р2 в сечении на выходе из гидромонитора равно атмосферному. Плоскость сравнения следует провести через ось сопла, тогда удельные энергии положения z1 = z2 = 0 и уравнение Д. Бернулли будет иметь следующий вид:
откуда.
Ответ: .
3.5. Определить диаметр d суженной части горизонтального трубопровода, при котором вода поднимается на высоту h = 3,5 м при расходе
Q = 6 л/с и диаметре D = 10 см.
Решение. Плоскость сравнения совместим с осью трубы. Выбрав сечения 1 — 1 и 2 — 2 и составив уравнение Д. Бернулли, получим:
Так как плоскость сравнения проведена по оси трубы, то z1 = z2 = 0, и тогда
Для того чтобы вода поднялась на высоту 3,5 м, необходимо, чтобы удельная энергия давления в сечении 1 — 1 была равна , откуда .
Так как истечение происходит в атмосферу, то давление р2 равно атмосферному, т.е.
Следовательно,
Для определения диаметра суженной части воспользуемся уравнением неразрывности движения , где
и .
Подставив в уравнение найденные величины, получим
откуда искомый диаметр
Ответ: .
3.6. Определить расход воды в горизонтальном трубопроводе переменного сечения, скорость на каждом из участков и построить пьезометрическую линию, если H = 5 м, d1 = 15 мм, d2 = 20 мм и d3 = 10 мм.
Решение. Уравнение Д. Бернулли для сечений 0 — 0 и 3 — 3 при совмещении плоскости сравнения с осью трубы будет иметь вид
В данном случае = H, = 0. В связи с тем, что в сечениях 0—0 и 3—3 давление равно атмосферному, то . Учитывая, что H = const, а скорость в сечении 0—0 V0 = 0, скорость в выходном сечении 3 — 3 определится из зависимости
откуда
Расход воды в трубопроводе
Скорость в сечении 1 — 1
Скорость в сечении 2 — 2
Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учета потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0 — 0. Пьезометрическая линия расположится ниже напорной линии на величину в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величины в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию (см. рис). При этом:
Ответ: .