Примеры

4.1. Через цилиндрический насадок, расположенный в стенке, расходуется вода в количестве л/с. Диаметр насадка см, длина см. Определить напор H над центром насадка, скорость и давление в насадке (в сжатом сечении).

Решение. Длина насадка

см, следовательно, можно принять коэффициент расхода μ=0,82. При d=3,8 см площадь см². Напор над центром насадка найдем из формулы

Скорость в выходном сечении насадка составит

Из условия неразрывности определим скорость в сжатом сечении, полагая ,

Для определения давления составим уравнение Бернулли для двух сечений О-О и С-С при плоскости сравнения, проходящей через ось насадка ,

Так как между сечениями будут потери только на сопротивление тонкой стенки, то . Полагая , имеем

.

Подставляя численные значения, получим высоту давления :

Давление

Недостаток до атмосферного давления в сжатом сечении

Высота вакуума, выраженная в метрах водяного столба,

Такой же результат получим, применив формулу

Ответ:

4.2. Резервуар разделен на три отсека перегородками, в которых имеются отверстия: в первой перегородке прямоугольное с площадью см², во второй перегородке – квадратное, примыкающее одной стороной а=4 см к дну. В наружной стенке отверстие круглое d=3,0 см. Разность между отметкой уровня воды в первом отсеке и отметкой центра наружного отверстия H = 3,10 м.

Определить расход воды из резервуара и напоры , и при установившемся движении в двух расчетных случаях:

1. при истечении воды из наружного отверстия в атмосферу;

2. в случае если к наружному отверстию присоединен цилиндрический насадок.

Решение. 1) Согласно условию сумма напоров

,

причем любой из этих напоров , определяется формулой

.

Подставляя выражение в исходное уравнение, получим:

.

Прямоугольное и круглое отверстия полагаем находящимся в условиях полного совершенного сжатия, поэтому считаем . Для квадратного отверстия, расположенного у дна, коэффициент расхода определим по формуле

Подставляя числовые значения , , H, определим расход по формуле

По найденному расходу вычислим напоры

; ;

.

Проверка дает .

2) Если к выходному отверстию присоединим насадок, то некоторый период времени движение в отсеках будет неустановившимся. Через насадок пойдет большой расход (по сравнению с расходом через отверстие), но напор будет падать, так как для пропуска большего расхода должны увеличиться напоры и .

После того, как движение примет установившейся характер, будет применимо уравнение для расхода, из которого определим, полагая , расход

и напоры

; ; .

При этом, как и в первом случае,

.

Ответ: 1)

2)

4.3. Определить расход из резервуара через два цилиндрических насадка и величину вакуума в них. Один насадок расположен горизонтально в боковой стенке резервуара на расстоянии см от дна, другой – вертикально в дне резервуара. Размеры насадков одинаковы: см, см. Глубина воды в резервуаре см.

Решение. 1) Напор над центром горизонтального насадка

.

Пренебрегая скоростью подхода, так как размеры резервуара достаточно велики, примем .

Расход из горизонтального насадка

.

Вакуум в сжатом сечении горизонтального насадка

.

2) Расход через насадок, расположенный в дне резервуара, соответствует напору . Скоростью подхода, как и в первом случае, пренебрегаем

Расход из резервуара через оба насадка будет

.

Для определения вакуума в сечении составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и , взяв плоскость сравнения на уровне ,

.

Отсюда, принимая потери на сопротивление тонкой стенки, получим выражение высоты вакуума

или

.

Полагая и , получим:

.

Подставляя числовые значения величин

, , , , ~ 0 и принимая а ~ , будем иметь:

,

или

.

Для условий задачи величина вакуума в вертикальном насадке будет

.

Ответ: ; ; .

4.4. Из резервуара с площадью поперечного сечения через отверстие в стенке вода поступает в смежный резервуар, имеющий площадь . Отверстие расположено на высоте от дна. Через какое время t после открытия отверстия из первого резервуара во второй вытечет вода в количестве , если в момент открытия отверстия глубина в первом резервуаре была , а второй был пуст. Притока в резервуары извне нет.

Решение. Время t будет состоять из двух периодов:

а) истечение при переменном напоре в атмосферу за время наполнения второго резервуара до центра отверстия;

б) истечения при переменном напоре под переменный уровень.

Объем во втором резервуаре от дна до отметки центра отверстия

.

При вытекании во второй резервуар количества воды в объеме уровень воды в первом резервуаре понизиться на

.

Время уменьшения напора от до будет найдено по формуле

.

По условию во второй резервуар ещё должно поступить количество воды

.

При вытекании воды уровень в первом резервуаре понизиться на

.

Одновременно уровень воды во втором резервуаре повыситься на

.

Изменение напора будет от до .

Время на этот процесс определиться по формуле

.

Суммарное искомое время будет

.

Ответ: .

4.5. Цилиндрический бак с площадью и высотой , заполненный до краев водой, нужно опорожнить за время .

Определить необходимую для этого площадь двух одинаковых отверстий, одно из которых расположено в центре дна, другое в стенке, на половине высоты бака.

Решение. Опорожнение верхней половины бака будет определяться дифференциальным уравнением

,

отсюда

.

Освобождаясь от иррациональностей в знаменателе и подставляя пределы при опорожнение верхней половины резервуара, получим

.

Вводя переменную , пределы которой будут от до , перепишем уравнение:

.

В результате интегрирования получим

.

Опорожнение нижней половины бака определиться по формуле

.

По условию задачи

.

Подставляя числовые значения, получим:

,

отсюда

.

Ответ: .

4.6. Цилиндрический резервуар имеет площадь поперечного сечения . В его стенке на расстоянии от дна расположено круглое отверстие см. Постоянный приток воды в резервуар Определить глубину воды в резервуаре через 20 мин после открытия отверстия, если в момент его открытия глубина равнялась .

Решение. Расход через отверстие при напоре и будет

. Так как начальный расход меньше притока , то напор над отверстием увеличивается. Сначала определим напор , при котором приток и расход из отверстия будут одинаковы. Из формулы найдем напор

.

Изменение напора от до в цилиндрическом резервуаре при наличии притока за время определяется формулой.

или, упрощая уравнение (и полагая ), получим:

.

Из этого уравнения подбором определим . Следовательно, через после открытия отверстия глубина в резервуаре будет .

Ответ: .

4.7. Щитовое отверстие имеет ширину и высоту . Щит приподнимается равномерно со скоростью . Определить объем воды , вытекающий за время полного открытия отверстия. Напор над центром отверстия . Истечение свободное. Коэффициент расхода отверстия .

Решение. Объем воды, вытекающий из отверстия за время

.

Расход из отверстия

,

где и - переменные, определяемые скоростью и временем открытия,

и .

Тогда

.

Полный объем за время открытия щита

.

Для решения интеграла введем подстановку

При этом пределы переменной y будут от H до .

.

Решение интеграла дает

.

Подставляя числовые значения в решение, получим объем .

Ответ: .

4.8. В верхний сосуд поступает вода с расходом Q = 0,25 л/с, которая затем перетекает через малое от верстие в дне диаметром d₁= 10мм в нижний сосуд, имеющий также малое отверстие в дне диаметром d₂ = 15 мм.

Определить:

а) напоры Н₁ и Н₂ в обоих сосудах;

б) при каком диаметре d₂ напор Н₂ будет вдвое меньше, чем Н₁.

Решение. а) Определим в обоих сосудах напоры Н ₁ и Н₂, при которых расходы Q₁ и Q₂ станут равными притоку воды Q = 0,25 л/с. Расход откуда

см =1,35 м;

см =0,27 м;

б) Находим диаметр d₂, при котором см = 0,675 м.

Из формулы определяем

см²

Тогда

Ответ: d=0,012 м.

4.9. Открытый понтон, имеющий форму прямо­угольного параллелепипеда с шириной В = 2 м; длиной L = 5 м; высотой Н = 0,5 м и весом G = 1000 кг получил в дне пробоину диа­метром d. Считая пробоину затопленным отверстием в тонкой стенке, определить время, в течение которого понтон затонет, если d = 15 мм:

Решение. 1) Определим осадку понтона до получения пробоины:

2) Найдем расход воды через пробоину при напоре h:

3) Найдем увеличение глубины воды в понтоне в результате притока за секунду

4) Определим осадку понтона от поступающей в него воды за секунду

Как видим, . Значит, напор над пробоиной остается постоянным в течение всего времени погружения понтона.

5) Понтон затонет, когда его вес станет равным или когда в него поступит объем воды , откуда время от момента получения пробоины до затопления понтона

с = 7 ч 30 мин.

Ответ: 7 ч 30 мин.

4.10. Из закрытого сосуда диаметром D = 0,5 м, в верхнюю крышку которого вставлена открытая трубка, вода выте­кает в атмосферу через малое отверстие в дне диаметром d = 15 мм.

Определить время опорожнения сосуда при Н = 1,2 м и h = 0,5 м.

Решение.1) При опорожнении сосуда в силу закона Бойля — Мариотта давление на его поверхности уменьшается, вследствие чего в открытой трубке уровень воды быстро понизится до положения 1 - 1. С этого момента воздух через трубку будет прорываться в верхнюю часть сосуда. Так как во всех точках горизонтальной плоскости 1 - 1 давление одинаково, то давление будет оставаться постоянным и равным атмосферному давлению.

2) Исходя из этого, найдем сначала время, за которое вытечет объем воды, находящийся выше уровня 1 - 1

м³;

= 0,000344 м³/с;

с.

3) Время, за которое вытечет оставшийся объем воды

м³,

найдем по формуле

4) Полное время опорожнения сосуда

с = 16 мин 10 с.

Ответ: t =16 мин 10 с.

4.11. Цилиндрическая бочка радиусом R = 0,3 м и высотой h = 1 м залита водой , давление на свободной поверхности которой равно атмосферному. Определить время опорожнения бочки через отверстие диаметром d = 2 см в боковой стенке при гори­зонтальном положении.

Решение. 1) Составим дифференциальное уравнение опорожнения неприз­матического сосуда, для чего рассмотрим этот процесс в течение бесконечно малого отрезка времени dt, за который площадь зеркала воды в бочке  и напор z над отверстием меняются весьма незначительно. Пусть за время dt уровень воды в боч­ке опустился на величину dz. Тогда объем вытекшей воды за отрезок времени dt

где dz — отрицательная величина, так как изменение напора z происходит против положительного направления оси OZ. Кроме того, элементарный объем равен

где  — площадь отверстия.

Приравнивая правые части выражений для dW, получаем дифференциальное уравнение

интегрируя которое, можем найти время опорожнения бочки.

2) Найдем площадь зеркала воды в бочке  как функцию z:

3) Подставляя значение в дифференциальное уравнение и интегрируя от 2r до 0, получаем

с = 12 мин.

Ответ: t = 720 с.

4.12. Вода расходом Q = 15 л/с поступает в бак, разделен­ный на два отсека перегородкой толщиной 30 мм, в которой про­сверлено четыре ряда отверстий диаметром d₁= 10 мм, причем расстояние между центрами отверстий в ряду и между рядами отверстий а = 50 мм. Из второго отсека вода вытекает через внеш­ний конический насадок диаметром d₂ = 80 мм. Определить глубину H₁ и H₂ в обоих отсеках, если в одном ряду 48 отверстий.

Решение. 1) Глубину Н₂ во втором отсеке найдем из условия, что заданный расход Q = 15 л/с проходит через отверстия в перегородке и через конический насадок:

откуда

2) Для определения H₁ воспользуемся формулой для расхода через затопленное отверстие, в которой H = =Н₁ - H₂; считая, что при а = 50 мм все отверстия в перегородке работают как внешние цилиндрические насадки независимо друг от друга, имеем

где n = 48 4 = 192 — количество отверстий в перегородке.

Отсюда получаем

Ответ: