- •1. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий
- •2. Геометрические вероятности
- •1. Определение условной вероятности
- •2. Независимость событий
- •3. Вероятность произведения событий
- •4. Теорема сложения вероятностей событий
- •5. Формула полной вероятности
- •6. Формула Байеса
- •1. Формула Бернулли
- •2. Полиноминальная формула Бернулли
- •3. Теоремы Муавра-Лапласа
- •4. О границах применимости схемы Бернулли
4. О границах применимости схемы Бернулли
Схема повторных испытаний Бернулли в силу своей простоты и наглядности имеет большое распространение не только в учебном процессе, но и практических приложениях. Однако надо помнить, что в ее основе лежат три основополагающих принципа:
- однородность (одинаковость, повторяемость) испытаний,
- независимость испытаний между собой,
- стационарность испытания (постоянство вероятностей его исходов).
_______________
Пример. На складе находится деталей, причем из них бракованных. Рабочий взял наудачу деталей, какова вероятность того, что у него окажется бракованных деталей.
Решение. Часто студенты, не владеющие полностью материалом курса, начинают рассуждать так: «Неважно, как рабочий взял эти детали, то ли он их получил у кладовщицы все сразу, то ли он сам набирал эти детали в тару по очереди (что верно в силу однородности и симметрии опыта), но раз есть повторяемость, то почему бы не применить «формулы Бернулли» с ».
Тогда для ,, эти студенты получают . Однако они забывают, что вероятность взять бракованную деталь верна только для первого испытания. В последующих испытаниях она изменяется (становится условной), что нарушает стационарность и независимость испытаний. Если бы они знали «схему урн» или вспомнили о ней, то правильное решение находится тривиально:
.
Заметим, что при условии «большого» склада разница в решении будет несущественной, так как вероятность изменяется медленно. Так для значений ,, решение по «Бернулли» будет тем же , а вот правильное:
.
Разница менее существенна, но студенту остается уповать на «милость» преподавателя.