5. Формула полной вероятности

Эта формула работает в том случае, когда событие происходит в опыте вместе с рядом других событий, составляющих полную группу. Такая ситуация иллюстрируется на рис. 3.3.

Допустим, что события образуют полную группу (т.е. какое-то из них непременно происходит) несовместных (т.е. два разных события одновременно произойти не могут) событий. Тогда верна следующая теорема.

Теорема. Если событие может осуществляться только при выполнении одного из событий , которые образуют полную группу

несовместных событий, то:

.

Рис. 3.3. Иллюстрация к формуле полной вероятности.

­Доказательство. Представим событие как событие, умноженное на достоверное событие (от этого результат не изменится), а достоверное событие как сумму всех событий :

.

Тогда по формуле сложения вероятностей (события - несовместные, а значит и события совместно произойти не могут) вероятность суммы равна сумме вероятностей:

.

Далее по формуле умножения вероятностей получаем искомое соотношение:

.

Что и требовалось доказать.

Отметим, что события называют часто гипотезами.

___________________________________________

Пример. В городе 5 банков, три из них («хорошие» банки) разорятся с вероятностью , два («плохие» банки) – с . Найти вероятность сохранения вклада, если деньги доверены наудачу одному из банков. (Общая ситуация. Вы никогда не знаете наверняка вероятность сохранения Вашего вклада).

Решение. Введем соответствующие обозначения:

событие - деньги доверены «хорошему» банку;

событие - деньги доверены «плохому» банку;

событие - деньги сохранены.

Тогда можно найти вероятность того, что деньги сохранятся в «хорошем» банке (деньги будут сохранены, при условии того, что они будут доверены «хорошему» банку):

,

т.к. эта вероятность в совокупности с вероятностью разорения «хорошего» банка даст единицу (достоверное событие).

Аналогично находится вероятность того, что деньги сохранятся в «плохом» банке (деньги будут сохранены при условии того, что они будут доверены «плохому» банку):

.

Теперь можно найти вероятность того, что деньги доверены «хорошему» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 3 равно числу благоприятствующих случаев, а всего - 5 банков):

и «плохому» банку (по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 2 равно числу благоприятствующих случаев)

.

Тогда по формуле полной вероятности:

.

Т.е. вероятность оказалась «размытой по середине» между вероятностью сохранить деньги в «хорошем» банке и вероятностью сохранить в «плохом» банке.

6. Формула Байеса

Она нужна для того, чтобы переоценить вероятность события при условии того, что событие произошло. Формула работает в том случае, когда события образуют полную группу (т.е. какое-то из них непременно происходит) несовместных (т.е. два разных события одновременно произойти не могут) событий.

Пусть событие произошло. Тогда переоценим вероятность события , исходя из формулы . По формуле умножения вероятностей:

,

где вероятность события будем считать известной, а вероятность события надо определить. Но по формуле умножения вероятностей, с другой стороны:

,

где обе вероятности, участвующие в правой части формулы, также будем считать известными. Тогда, сравнивая правые части обеих формул, приходим к следующему:

.

Отсюда находим неизвестную величину :

,

или, пользуясь формулой полной вероятности, можно расписать знаменатель

и получить окончательный вид формулы Байеса:

.

Пример. В городе находится 10 банков. Вероятность того, что деньги сохранятся в 4-х банках («хороших») равна 0,95, а в остальных банках («плохих») равна 0,8. Вкладчик сохранил деньги в наудачу взятом банке. (Общая ситуация, Вы никогда не знаете наверняка, в каком именно банке храните деньги: в «хорошем» или в «плохом».)

Что вероятнее: вкладчик держал деньги в «хорошем» банке или в «плохом»?

Решение. Введем обозначения:

событие - деньги сохранены;

событие - выбран «хороший» банк;

событие - выбран «плохой» банк.

Причем события и как раз и образуют полную группу (т.к. в какой-то банк положены деньги) несовместных (т.к. деньги хранились лишь в одном из банков) событий.

Тогда можно найти следующие вероятности:

- вероятность того, что деньги сохранятся, если выбран «хороший» банк;

- вероятность того, что деньги сохранятся, если выбран «плохой» банк;

- вероятность того, что выбран «хороший» банк (определяется по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 4 равно числу благоприятствующих случаев);

- вероятность того, что выбран «плохой» банк (определяется по классическому способу нахождения вероятности событий, а число 6 равно числу благоприятствующих случаев).

Тогда , вероятность того, что был выбран «хороший» банк при условии, что деньги были сохранены, равна, по формуле Байеса,

< .

То есть вероятнее, что был выбран «плохой» банк при условии, что деньги были сохранены.

Так и в жизни. Никогда нельзя доверять тому, что говорят. Даже, если это говорит честный человек. Например, он купил автомобиль китайского производства, и автомобиль оказался хорошим. Человек утверждает, раз мой оказался хорошим, значит можно покупать китайские автомобили. Это неправда, просто этих автомобилей на рынке больше (по количеству) и хороший автомобиль вполне мог попасться этому человеку!

Лекция № 4

Схема независимых испытаний

Схема независимых испытаний представляет собой сочетание следующих факторов. Пусть производится серия из n независимых испытаний (что такое «независимость» мы говорили на прошлой лекции). В каждом испытании может возникнуть событие с одной и той же вероятностью.