3. Теоремы Муавра-Лапласа

В условиях действия схемы Бернулли (производится независимых испытаний, событие наступает ровно раз, вероятность наступления в одном испытании равна ) при большом подсчитать по формуле Бернулли затруднительно (нужно подсчитать большие факториалы, большие степени, …).

Для упрощения расчётов придумали формулу, но приближённую (пришлось «заплатить точностью»). Приведем без доказательства соответствующую теорему.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна,

< <,

число испытаний велико, то вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равно

,

где , , .

Функция затабулирована (в Приложении из [2] значения этой функции даются в таблице под номером 1).

Замечания. Функция чётная (т.е. ); функция убывает при ; функция .

_______________

Пример. Найти вероятность того, что при выстрелах мишень будет поражена ровно раз, если вероятность поражения мишени при одном выстреле равна .

Решение. Понятно, что искомую вероятность можно найти по формуле Бернулли, но кто возьмется подсчитать (т.е. )? Где тот незаметный герой? А с помощью локальной теоремы Муавра-Лапласа - запросто! Здесь :

,

.

Поэтому по таблице ( приложение 1) находим , откуда:

.

_______________

Теперь пусть перед нами поставлена следующая задача. Найти вероятность того, что из достаточно большого числа объектов от объектов до объектов имеют определённое свойство:

.

Например, нужно найти вероятность того, что из семей от до семей имеют автомобиль:

.

В условиях действия схемы Бернулли (производится независимых испытаний, событие наступает ровно раз, вероятность наступления в одном испытании равна ) при большом подсчитать по формуле Бернулли затруднительно (нужно подсчитать большие факториалы, большие степени,…). Подсчитать по локальной теореме Муавра-Лапласа? Но она приближённая, а поэтому мы сложим большое число ошибок и в итоге получим пшик!

На помощь приходит интегральная теорема Муавра-Лапласа, которую также приведём без доказательства.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний постоянна,

< <,

то вероятность того, что число наступления события в независимых испытаниях заключена в пределах от «» до «» (включительно) при достаточно большом числе приближённо равна

,

где функция равна (функция Лапласа), , , .

Функция затабулирована ( Приложение 2).

Замечания: функция нечётная (); функция возрастает при увеличении положительного значения ; функция .

_______________

Пример. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна . Найти вероятность того, что событие появится не менее раз.

Решение. Нас интересует вероятность

,

где

,

следовательно, надо отыскать , но в таблице даётся только значение (для больших значений аргумента значений не приводится). Но так как возрастает при значениях и , то заключаем, что . Кроме того,

,

поэтому (по свойству определенного интеграла). Отсюда:

.