1. Формула Бернулли
Пусть вероятность
того, в
независимых испытаниях событие
наступит ровно
раз, равна
.
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема (формула Бернулли).
,
где
- число сочетаний из
по
,
- вероятность
события
,
- вероятность события
(т.е.
вероятность не наступления события
).
Доказательство.
Начнём с малого. Пусть
обозначает исходное событие, т.е.
появление ровно
раз события
в
независимых испытаниях (вероятность
появления
в одном испытании, напомню, равняется
).
Событие
может, например, появиться (событие
)
следующим образом: вначале испытаний
событие
наступает ровно
раз, а затем оно
раз не наступает (значит, наступит
противоположное событие
):
.
Найдём вероятность этого события. Поскольку все события независимы («вероятность произведения равна произведению вероятностей»), то:
.
А вероятность
найдём исхитрившись. События
и
образуют полную группу, т.е.
.
Кроме того, они несовместны (т.к. вместе произойти не могут). Поэтому («вероятность суммы равна сумме вероятностей»):
,
Откуда:
.
Поэтому
.
Но событие
может появиться и другим образом.
Например,
.
Нетрудно убедиться
в том, что вероятность
по-прежнему равна:
.
Но как пересчитать
все эти возможности (ясно, что они все
являются несовместными, а поэтому
будет равно числу (сумме) всех этих
возможностей умноженной на
)?
Число всех возможных таких вариантов
событий
равно
,
числу способов,
которыми можно расположить
чисел по
местам (при этом порядок, занимаемый
числами, не имеет значение):
числа
располагаются по
местам (событие
),
числа
располагаются по
местам (событие
),
и т.д.
Поэтому
.
Что и требовалось доказать.
_______________
Пример.
Для нормальной работы автобазы на линии
должно быть не менее восьми автомашин,
на автобазе всего десять машин. Вероятность
невыхода каждой автомашины на линию
равна
.
Найти вероятность нормальной работы
автобазы.
Решение. Прежде всего поймём, что значит вероятность нормальной работы автобазы:
.
Причём последнее
равенство справедливо, т.к. несовместными
являются события «
машин на линии», «
машин на линии» и «
машин на линии».
Вероятность того,
что
автомашин на линии, равна «вероятности
того, что в
независимых испытаниях событие
(выход одной машины на линию) наступит
ровно
раз»
,
где
- вероятность выхода одной машины на
линию, а
- вероятность невыхода одной машины на
линию. Поскольку по условию задачи
,
постольку
.
Окончательно,
.
Аналогично:
и
.
Поэтому:
.
Сделаем вывод.
Поскольку в статистике считается, что
событие, вероятность которого «больше
достоверное событие», постольку базу,
иногда, будет «лихорадить». Полностью
нормальной её работу считать нельзя! А
для исправления ситуации следует
прикупить автомашины или поработать
над уменьшением вероятности «невыхода
каждой автомашины на линию».
2. Полиноминальная формула Бернулли
Пусть в каждом
из
независимых испытаниях происходит
одно из событий
,
образующих полную группу. Вероятности
наступления каждого из событий не
изменяется в серии испытаний и равны
,
а само событие
наступает в серии испытаний ровно
.
Причем
,
а
.
Тогда имеет место следующая полиноминальная
формула Бернулли:
,
которая дает
вероятность распределения событий в
серии испытаний. При
полиноминальная формула превращается
в обычную биноминальную формулу Бернулли.
_______________________
Пример. Вычислить вероятность того, что в шахматном турнире из 5 партий с соперником, у которого выиграть партию вы сможете с вероятностью 0,3, а проиграть 0,5, вы две партии выиграете, а проиграете только одну.
Решение. В каждой из независимых партий (испытаний) возможны три исхода.
.
Тогда ответ на вопрос задачи будет
следующим:
.