- •Основные положения теории динамических расчётов деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.1. Термины, понятия и определения
- •1.2. Основные символы и обозначения
- •1.3. Предпосылки и гипотезы динамического расчёта. Принципиальная расчётная модель деформируемой системы с сосредоточенными массами
- •1.4. Степени свободы масс
- •1.5. Уравнения динамики деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.1. Уравнения для общего случая движения
- •1.5.1.1. Использование матрицы податливости системы
- •1.5.1.2. Уравнения движения с матрицей жёсткости системы
- •1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений динамики
- •1.5.3. О численном решении уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.4. Свободное движение и собственные колебания
- •1.5.4.1. Уравнения свободного движения, их решение;
- •1.5.4.2. Характеристическое ( частотное ) уравнение;
- •Дополнительные сведения о собственных векторах j и y
- •1.5.4.4. Расчёт на собственные колебания
- •1.5.5. Вынужденное движение; установившиеся колебания от вибрационных воздействий
- •1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных и учет симметрии в динамических расчётах
- •1.7. О приближённом определении частот
- •2. Некоторые инженерные приложения динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •2.1. Кинематическое возбуждение движения деформируемой системы. Понятие о расчёте на сейсмические воздействия
- •2.2. Понятие об аэроупругости и расчётах сооружений на ветровые нагрузки
- •2.3. Защита сооружений и конструкций от динамических воздействий
- •3. Примеры динамических расчётов статически неопределимых стержневых систем с сосредоточенными массами
- •Задача 3.1. Расчёт плоской стержневой системы на собственные и вынужденные колебания
- •3.1.1. Динамический расчёт рамы
1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений динамики
Все приведённые выше уравнения получены одним – кинетостатическим – методом динамики сооружений, но раз-личаются, во-первых, своим смыслом и, во-вторых, основными неизвестными.
Так, уравнения ( 1.14 ) и ( 1.15 ) ( в матричной записи – ( 1.16 ) и ( 1.15*)) – кинематические ( независимо от того, какие величины – перемещения или силы инерции – присутствуют в них в качестве неизвестных ), так как описывают динамические перемещения масс ( точнее – перемещения точек рассчитывае-мой системы в местах расположения сосредоточенных масс ). В качестве характеристики деформативных свойств системы при-сутствует матрица податливости
Уравнения ( 1.24 ) и ( 1.27 ) ( матричные – ( 1.26 ) и ( 1.28 )) – статические, поскольку формулируют условия равновесия ( по Д’Аламберу ) изначально в виде ( 1.19 ). Свойства системы ха-рактеризуются матрицей жёсткости.
По смысловой аналогии с классическими методами сил и перемещений часто вышеуказанные уравнения первой группы называются уравнениями динамики в форме метода сил, а вто-рой группы – в форме метода перемещений, хотя и с возмож-ным использованием основных неизвестных разных типов ( в классических методах двойственность основных неизвестных отсутствует ).
Представленные выше варианты уравнений движения деформируемых систем сведены в таблицу 1.2 – для удобства сопоставления и рационального выбора для применения к реше-нию частных задач.
Заметим, что принципиально возможно построение урав-нений динамики в форме смешанного метода, где часть основ-ных неизвестных – функции перемещений, а остальные – функ-ции инерционных сил. Теоретически это представляет интерес, так как из уравнений смешанного типа другие могут быть полу-чены как частные случаи. Но практической ценности этот под-ход не имеет из-за сложности расчётной реализации.
Таблица 1.2
Варианты уравнений движения линейно деформируемой системы
с конечным числом степеней свободы масс ( обычная и матричная формы записи ) – общий случай
Основные неизвестные |
С м ы с л у р а в н е н и й |
||
А. К и н е м а т и ч е с к и е – описание перемещений масс ( точек системы ) c использованием матрицы податливости |
Б. С т а т и ч е с к и е – условия равновесия системы ( по Д‘Аламберу ) с использованием матрицы жёсткости |
||
1 |
Переме- щения масс y(t)
|
+ yi (t) = =
|
+ kf, i+= = –,
|
2 |
Инерци- онные силовые факторы J(t)
|
+Ji (t) = = –
|
+ kf,i+= =,
+ kf += = |
Из общих уравнений легко выводятся уравнения для на-иболее важных частных случаев движения и постановок задач:
без учета внутреннего трения и сопротивления внешней среды;
свободное движение;
собственные колебания;
установившиеся вынужденные гармонические колебания от
вибрационных воздействий.
В табл. 1.3, структура которой сохранена аналогичной таб-лице 1.2, даны уравнения в случае пренебрежения рассеянием энергии, когда коэффициенты вязкого сопротивления принима-ются равными нулю ( при этом из расчётных схем по рис. 1.14 и 1.20 исключаются диссипативные силы FD (t) ).
Таблица 1.3
Уравнения движения для консервативной системы
|
А* |
Б* |
1* |
+ yi (t) = =
|
+= = –,
|
2* |
Ji (t) = = –
|
+= =, += |
При рассмотрении свободного движения ( когда внеш-ние воздействия отсутствуют ) правые части уравнений таблицы 1.2 обнуляются, т. е. получаются однородные дифференциаль-ные уравнения; результаты – в табл. 1.4, где п.п. «а» и «б» отно-сятся к решениям с учётом и без учёта диссипации соответст-венно.
Таблица 1.4
Уравнения в случае свободного движения
|
А0 |
Б0 |
10 |
а) yi (t) = 0; б) yi (t) = 0,
б) = 0 |
а) + kf, i+ += 0; б) += 0,
а) б) = 0 |
а)
20 |
+Ji (t) = 0; б) +Ji (t) = 0, а) = 0; б) = 0 |
а) + kf,i+ += 0; б)+= 0,
а) + kf += 0 ; б) += 0 |
У двух следующих частных случаев – собственных и уста-новившихся вынужденных колебаний от вибрационных воздей-ствий в консервативных системах ( без рассеяния энергии ) фор-мально общим является моногармоническое синфазное движе-ние всех масс, описываемое законом ( 1.1 ) для собственных ко-лебаний и yi (t) = yi sin ( F t + 0 ), i = 1, 2, ..., n для вынужденных.
ния:
( 1.29 )
т. е. ( 1.30 )
или – ( 1.31 )
«закон инерции» при гармоническом движении массы: сила инер-ции прямопропорциональна перемещению массы и направлена в ту же сторону.
Уравнения собственных колебаний как частного случая свободного движения получаются подстановкой ( 1.1 ) в зависи-мости 10А0, б и 10Б0, б ( без учёта диссипации ) таблицы 1.4 и со-отношения ( 1.29 ) – в 20А0, б и 20Б0, б. Поскольку и сами величи-ны y(t), J(t), и их вторые производные содержат в качестве мно- жителя одну и ту же функцию f(t) = sin ( t + 0 ), не равную нулю в призвольный момент времени t, то после сокращения всех чле-нов любого из указанных уравнений на f(t), получаем их уже не как дифференциальные, а как однородные линейные алгебраи-ческие, в которых основными неизвестными являются ампли-туды перемещений или сил инерции. Разделив все уравнения в варианте ( в амплитудах инерционных сил ), для компактности записи, на 2, представляем их в виде, приведённом в табл. 1.5.
Аналогично в случае установившихся вынужденных коле-баний от вибрационных воздействий, когда временные функции задаются как (t) = sin ( F t + 0 ), неизвестные y(t) и J(t) опи-сываются во времени той же функцией sin ( F t + 0 ). Тогда, ис-пользуя данные таблицы 1.3, тем же путём, что для собственных колебаний, получаем алгебраические уравнения, линейные относительно амплитуд y и J, но уже неоднородные ( табл. 1.6 ).
Таблица 1.5
Собственные колебания
|
||
|
– yi = 0,
– –2 y = 0 |
– += 0,
–= 0 |
|
––2Ji = 0, = 0 |
– Ji += 0, – J += 0 |
Таблица 1.6
Установившиеся гармонические вынужденные колебания
|
А |
Б |
1 |
yi = –
– y = – P |
–+= –
–= – RP |
2 |
– Ji = = = – P |
– Ji += = – – J += –RP |
уравнений (
табл. 1.4 и
1.5 ).
Как уже отмечалось ранее ( см. с. 26 ), для получения пол-ного решения задачи динамики в общем случае уравнения с пе-ремещениями в качестве основных неизвестных ( строки 1, 1*, 10 таблиц 1.2 – 1.4 ) более удобны, так как позволяют получать не-обходимые силовые факторы простой процедурой дифференци-рования найденных функций y(t). Кроме того, эти уравнения в вариантах с матрицей жёсткости ( столбцы Б, Б* и Б0 ) наи-более приспособлены к компьютерной реализации по методу конечных элементов.
Тем не менее, в ряде частных случаев движения приме-нение уравнений с инерцонными силами в качестве основных неизвестных может быть оправданным:
– при кинематических возмущениях, когда смещение основания представлено акселерограммой, т. е. графиком изменения уско-рений ( известна временная функция ), что типично для сейс-мических воздействий;
– при гармонических колебаниях ( собственных или от вибраци-онных воздействий), когда уравнения в амплитудах инерционных сил, причём с матрицей податливости ( варианты и 2A ), получаются более компактными ( их развёрнутые записи приво-дятся далее в п.п. 1.5.4 и 1.5.5 ) – это выгодно в «ручных» рас-чётах.
Для стержневых систем некоторый интерес – преимущест-венно с исторической и методической точек зрения, представ-ляют уравнения движения, составленные не для заданной систе-мы, а для основной соответствующего классического метода – сил, перемещений или смешанного. Сведения об этом даны в Приложении.
Особо отметим, что выписанные выше уравнения во всех вариантах позволяют получать решения для систем с одной сте-пенью свободы масс: для этого в них следует положить n = 1, тогда искомое уравнение совпадает с матричной записью, когда все матрицы – первого порядка, т. е. представляют собой одиноч-ные числа и функции ( см., например, 1Б в табл.1.2 для общего случая вынужденного движения или 10 Б0 , а в табл. 1.4 для сво-бодного движения ). Это формальное сходство решений простей-шей задачи ( n = 1 ) и при произвольном числе степеней свободы позволяет распространить качественные выводы и представле-ния, относящиеся к системам с n = 1 ( этому уделяется большое внимание во всех базовых учебниках [ 1, 2 и др. ] ) на сложные системы – это касается качественной оценки диссипации, явле-ний резонанса, принципов управления динамическим состояни-ем сооружений и конструкций, предотвращения вредного влия-ния динамических воздействий и др.). Так, при рассмотрении случая свободного движения системы с одной степенью свободы с учётом рассеяния энергии по 10 Б0 , а получается формула для угловой частоты затухающих колебаний:
,
(
1.32
)
где c = r11 – коэффициент жёсткости системы по направлению
движения массы; kf – по ( 1.3 ).
Из ( 1.32 ) следуют некоторые принципиальные соображе-ния, имеющие важное прикладное инженерное значение:
уменьшение массы m при прочих неизменных параметрах системы приводит к увеличению частоты свободных колебаний;
с увеличением жёсткости с ( за счёт изменения характеристик упругости материала, размеров поперечных сечений элементов или структуры системы ) частота увеличивается;
увеличение вязкости окружающей среды и внутреннего тре-
ния уменьшает частоту .
Таким образом, несмотря на то, что по отношению к массе и упругая система, и вязкая внешняя среда ( а по формальной ана-логии – и факторы внутреннего трения ) являются связями, они влияют на частоту прямо противоположным образом. Причина этого – в их физических свойствах: упругая связь ( в её роли вы-тупает линейно деформируемая система ) в процессе движения аккумулирует энергию в обратимой форме как потенциальную энергию упругой деформации, трансформируя её в определён-ные промежутки движения в кинетическую энергию, а вязкие связи необратимо рассеивают энергию в тепловой форме.
.
(
1.33
)
теристики диссипации таковы, что ( kf /2 )2 /m << c , тогда частоту
собственных колебаний можно вычислять по формуле