1.3. Предпосылки и гипотезы динамического расчёта. Принципиальная расчётная модель деформируемой системы с сосредоточенными массами

К о м м е н т а р и и

и п р и м е ч а н и я

В основу линейной теории динамических расчётов соору-жений положены следующие ис-

ходные предпосылки и гипотезы:

ЛДС – физически, геометрически и

конструктивно линейные системы ( ма-

териал подчиняется закону Гука, т. е. линейной упругости; перемещения ма-лы; расчёт возможен «по недеформи-рованной схеме» ).

Для ЛДС применим принцип незави-симости воздействий ( суперпозиции, аддитивности ), вследствие чего расчё-ты на динамические и статические воз-действия могут выполняться раздель-но, с последующим суммированием ре-зультатов.

Сосредоточенные массы – точечные, обладающие инерцией только поступа-тельного движения, и неточечные ( име-ющие также инерцию вращения ).

1. Рассматриваются линейно

деформируемые системы ( ЛДС ) .

2. Элементы системы счита-

ются безмассовыми ( безынерцион-

ными ); собственные массы соору-

жения ( несущих и ограждающих

конструкций ) и присоединённые

массы ( оборудование, люди, снег,

грунт и проч.) приведены к конеч-

ному числу сосредоточенных масс,

п

лам системы.

рикреплённых к элементам и уз-

3. Сопротивление внешней

среды и внутреннее трение в си-

стеме учитываются по гипотезе

вязкого трения с использованием

м

В действительности силы сопро-тивления окружающей среды явля-ются распределёнными по поверхно-сти элементов системы, а силы внут-реннего трения – по объему. Приёмы

приведения распределённых дисси-пативных сил к расчётным сосредо-точенным здесь не рассматриваются.

Следует иметь в виду то, что ди-намическое поведение реальных кон-струкций, например, с гибкими эле-ментами, испытывающими значи-тельный продольно-поперечный из-гиб, может существенно зависеть от параметров исходного статического состояния ( в первую очередь – про-дольных сил и перемещений) – в этом случае динамический расчёт должен выполняться по другой ( нелинейной ) теории с учётом, как минимум, конст-руктивной нелинейности.

одели Фойгта ( W. Voigt, 1850 –

1919 ), линейной относительно ско-

рости ( подробнее – далее ). Дисси-

пативные силы представляются как

сосредоточенные, приложенные к

массам.

4. Исследуется движение си-

стемы относительно её исходного

состояния, в качестве которого при-

нимается состояние равновесия,

вызванное статическими воздейст-

виями ( постоянными и временны-

ми нединамическими ). Перемеще-

ния и усилия исходного состояния

системы в динамическом расчёте

по линейной теории не учитываются.

5. Определению подлежат динамические составляющие напряжённо-деформированного состояния движущейся системы

( перемещения, усилия, напряжения, деформации ).

Могут также вводиться различные рабочие гипотезы част-ного характера.

При формировании динамической расчётной схемы ( моде-ли ) учитываются геометрические, структурные и жесткостные свойства сооружения ( конструкции ) – по тем же правилам, что и в статических расчётах ; дополнительно в ней отражаются те характеристики системы, которые связаны с особенностями её динамического поведения, – массы и параметры диссипации ( ко-эффициенты вязкого сопротивления, поглощения и т.п. ).

Для получения модели в виде системы с конечным числом степеней свободы масс предварительно выполняется преобра-зование масс рассчитываемой конструкции, заключающееся в замене распределённых масс сосредоточенными с возможным переносом и объединением некоторых из них. Например, для стержня с равномерно распределённой собственной и присоеди-нённой ( от опирающегося перекрытия ) массами суммарной ин-тенсивностью , несущего также массивный объект ( рис. 1.4, а ) с относительно небольшими размерами ( b₀ , h₀ << l ), даны воз-можные варианты перехода к сосредоточенным массам при раз-биении элемента на три участка. На рис. 1.4, б приведён пример для пластинки.

l /3

l /3

l /3

l₁

h₀

m₀

b₀

m + m₀

m

m

m

m

m₀

m /2

m + m₀ /2

1

2

3

m =

m

m

m/4

m/4

l₂

m =

1

2

а) б)

m

m

m /2

m /2

m

m/2

m/2

m/2

m /2

m/2

m/4

m/4

Рис. 1.4

Количество заменяющих сосредоточенных масс определяется особен-ностями решаемой динамической задачи: при необходимости учитывать высоко-частотные процессы следует назначать больше масс, а в системах с числом элементов, превышающим 4 – 6, бывает достаточно 1 – 3 масс на элементе и даже допустимо приведение всех масс к узлам системы. Строгих рекомендаций на этот счёт нет; решающее значение имеют опыт и инженерная интуиция рас-чётчика. Полезной может быть оценка результатов расчётов сначала с исходным, а затем с увеличенным числом масс.

Полученные сосредоточенные массы расположены на не-сущей системе, уже не обладающей массой, поэтому в расчёт-ной модели наблюдается чёткое разделение функций: деформа-тивные свойства исходного сооружения представлены безмассо-вым ( иначе – невесомым, безынерционным ) «каркасом», а инерт-ность – прикрепленными к нему массами.

В процессе движения инерция масс проявляется в их взаи-модействии с деформируемой системой, которая по отношению к массам выступает в роли обобщённой связи. Физически это выражается в возникновении реакций связей, с помощью кото-рых массы прикрепляются к элементам и узлам системы ( эти связи – внутренние для системы «конструкция + массы» ). Выя-вить указанные реакции можно, отделяя массу (рис. 1.5, а, где для большей ясности изображена масса, к кото-

р

z

ой не приложена внешняя вынуждающая

н

x

агрузка, а также не учитываются диссипа-

т

R_y(t)

y

ивные силы в предположении их пренебре-

ж

R_x(t)

имой малости^*) ). а)

Силы R_x , R_y , R_z , действующие на не-

весомую систему ( рис. 1.5, б ), которые фор-

м

R_z(t)

ально могут рассматриваться как некото-

рые условные нагрузки, в любой момент

д

R_z(t)

R_x(t)

R_y(t)

вижения уравновешиваются опорными ре-

акциями, и проблема динамического расчё-

т

R_x(t)

а сводится к определению этих «нагрузок».

Решение даёт принцип Д’Аламбера: после

у

R_y(t)

словного приложения к массе её силы инер-

ции ( на рис. 1.5, в показаны составляющие

полной силы инерции по направлениям ко- б)

ординатных осей ) массу можно рассматри-

вать как находящуюся в равновесии, тогда

и

R_y(t)

J_z(t)

в)

з условий статики  x = 0 ,  y = 0 ,  z = 0 :

R_x(t) = – J_x(t) ; R_y(t) = – J_y(t) ; R_z(t) = – J_z(t) ,

и

R_x(t)

J_x(t)

расчётная схема системы принимает вид,

п

J_y(t)

редставленный на рис. 1.5, г. Если бы мас-

с

R_z(t)

а была неточечной, то к силам инерции до-

б

J_z(t)

авились бы инерционные моменты J_mx(t) ,

J

J_x(t)

_my(t) и J_mz(t). Переходя к обобщённому обо-

значению инерционных силовых факторов

( см. с. 13 ), для их нахождения имеем, по

о

J_y(t)

пределению ( см. с. 12 ), зависимость

J_i (t) = –, ( 1.2 ) г)

г

Рис. 1.5

де– ускорение движения по

направлению i-й степени свободы.

^*) Напомним, что и динамические воздействия, и силы вязкого сопротив-

ления движению приложены в действительности не к массам, тем бо-

лее полученным путём идеализации системы, а к самому сооружению.

Выражение ( 1.2 ), связывающее различные по природе ве-личины ( силу и ускорение ), можно условно отнести к физичес-кой стороне задачи и рассматривать как «закон инерции» ( по ана-логии с законом Гука, описывающим свойство упругости ); при этом, конечно, не следует отождествлять его с 1-м законом Нью-тона.

J₃(t)

F_D2(t)

F(t)

Схема по рис. 1.5 относится к случаю свободного движе-ния без учёта рассеяния энергии. В более общей постановке в расчётную модель вводятся диссипативные силы, приведённые к точкам расположения масс, а при рас-

с

F_D1(t)

мотрении вынужденного движения –

т

J₁(t)

акже заданные динамические воздей-

ствия – силовые, т. е. нагрузки, и кине-

м

J₂(t)

F_D3(t)

атические ( смещения связей ). При-

мер – на рис. 1.6 .

Силы F_Di (t), учитывающие со-

п

(t)

ротивление окружающей среды и вну-

треннее трение в системе, определяют-

ся по модели Фойгта ( вязкого трения ):

Рис. 1.6

F_Di (t) = – k_f,i, ( 1.3 )

где – скорость движения по направлению i-й степе-

ни свободы; k_f,i – коэффициент вязкого cопро-

тивления движению по i-му направлению.

Коэффициенты k_f,i зависят как от физических свойств ок-

ружающей среды и материала системы, так и от размеров и гео-метрии несущих элементов и даже второстепенных конструкций ( в частности, ограждающих, через которые в движении происхо-дит взаимодействие сооружения и, например, воздушной среды ), а также от количества и мест расположения расчётных масс^*).

^*) Строго говоря, если есть основание прогнозировать существенное

значение факторов диссипации, то должна использоваться более сложная расчётная модель, отражающая процессы взаимодействия сооружения с окружающей средой ( воздухом, жидкостью, грунтом ), с привлечением, в дополнение к уравнениям динамики сооружений, соответствующего аппарата аэро-, гидродинамики и динамики грун-тов.

В результате реализации описанной выше процедуры со-здания расчётной модели все воздействия – активные, инерцион-ные, диссипативные и реакции связей оказываются приложен-ными к безмассовой деформируемой системе. Но если после выполнения п. «в» ( см. рис. 1.5 ) «вернуть» массу с действующи-ми на неё силами R(t) и J(t) в систему, показанную на рис. 1.5, б, то получится система с такими же воздействиями, как сначала на рис. 1.5, г, а окончательно – на рис. 1.6, но с массами. Такой ва-риант расчётной схемы ( с сохранением масс ) может использо-ваться на равных правах с первым – из соображений большей наглядности.