- •Основные положения теории динамических расчётов деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.1. Термины, понятия и определения
- •1.2. Основные символы и обозначения
- •1.3. Предпосылки и гипотезы динамического расчёта. Принципиальная расчётная модель деформируемой системы с сосредоточенными массами
- •1.4. Степени свободы масс
- •1.5. Уравнения динамики деформируемых систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.1. Уравнения для общего случая движения
- •1.5.1.1. Использование матрицы податливости системы
- •1.5.1.2. Уравнения движения с матрицей жёсткости системы
- •1.5.2. Систематизация и анализ вариантов уравнений динамики
- •1.5.3. О численном решении уравнений динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •1.5.4. Свободное движение и собственные колебания
- •1.5.4.1. Уравнения свободного движения, их решение;
- •1.5.4.2. Характеристическое ( частотное ) уравнение;
- •Дополнительные сведения о собственных векторах j и y
- •1.5.4.4. Расчёт на собственные колебания
- •1.5.5. Вынужденное движение; установившиеся колебания от вибрационных воздействий
- •1.6. Обобщённые перемещения, группировка неизвестных и учет симметрии в динамических расчётах
- •1.7. О приближённом определении частот
- •2. Некоторые инженерные приложения динамики систем с конечным числом степеней свободы масс
- •2.1. Кинематическое возбуждение движения деформируемой системы. Понятие о расчёте на сейсмические воздействия
- •2.2. Понятие об аэроупругости и расчётах сооружений на ветровые нагрузки
- •2.3. Защита сооружений и конструкций от динамических воздействий
- •3. Примеры динамических расчётов статически неопределимых стержневых систем с сосредоточенными массами
- •Задача 3.1. Расчёт плоской стержневой системы на собственные и вынужденные колебания
- •3.1.1. Динамический расчёт рамы
1.5.4.4. Расчёт на собственные колебания
по уравнениям в форме метода перемещений
Уравнения ( 1.49 ) в амплитудах перемещений масс и с мат-рицей жёсткости системы в матричной форме записываются как
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
где – матрица динамической жёсткости заданной системы
по направлениям степеней свободы масс при собственных
колебаниях с частотой :
r – m0 2 a r – a ; ( 1.66 )
a – то же, что в формуле ( 1.52 ); = m0 2 ( для краткости ис-пользовано обозначение для величины, названной 0 на с. 14 ).
Матрица единичных реакций r ( внешней жёсткости по на- правлениям степеней свободы масс ) может вычисляться как об-
ратная матрице податливости, т. е. r = –1, либо от единичных
смещений yi = 1 связей, наложенных на массы по напра-
влениям их возможных перемещений ( см. рис. 1.19 ).
Н
Определение
числа
степеней
свободы
масс
n
Число
n
можно определять как минима-льно
возможное число простых связей (
линейных
и угловых
),
которые нужно наложить на массы системы,
чтобы устранить их возможные перемещения.
Выбор основных
неизвестных
J
и формирование
расчетной схемы
На
расчетной схеме обозначаются амп-литуды
перемещений масс и сил инер-ции.
Запись канонических
уравнений
J
= 0 в символьной форме
Число
уравнений – n;
в диагональных компонентах (
1.53
)
матрицы
следует раскрыть смысл величин mi.
Рассмотрение
единичных состояний заданной
системы
при Ji
=1,
i
=1,…,n,
с определением силовых факторов
Si
, необходимых для вычисления
компонентов матрицы
Для
расчета статически неопредели-мой
системы на единичные воздейст-вия Ji
=1,
которые рассматриваются как варианты
загружения, выбирается ра-циональный
метод – сил, перемещений или смешанный.
Целесообразно
использование ЭВМ.
Вычисление
единичных перемеще-
ний ik
и
формирование из них
матрицы упругой
податливости
заданной системы
Перемещения
в заданной системе мо-гут определяться
методом Максвелла
–
Мора
(
или
любым
другим
)
в
обычной
(
«перемножением»
эпюр
)
или матрич-ной форме, аналитически или
числен-но, в том числе с помощью ЭВМ.
Получение
уравнения частот
Det
()
= 0, отыскание его корней j
(
j
=
1,...,
n
),
определение спектра
частот собственных
колебаний j
(
j
= 1,
...,
n
)
Нахождение
корней частотного уравне-ния и
собственных векторов может выполняться
либо прямым решением уравнения n-го
порядка с последующим использованием
уравнений (
1.56
)
и за-висимостей (
1.58
),
либо на ЭВМ по специализированным
программам или ППП линейной алгебры.
Вычисление
собственных векторов
J(j)
и y(j)
для всех главных форм
колебаний (
j
=
1,
...,
n
)
Проверки
ортогональности
главных
форм по (1.60
)
няются
При
необходимости уточнения схемы деформаций
в какой-либо главной форме определяется
нужное число перемещений разных точек
системы от воздействий Ji
= Ji
Jk
( i
=
1, ..., n
).
Изображение схем
деформаций си-
стемы в главных
формах колебаний
Качественная
оценка
правдоподобия
полученных
главных форм
Обнаружены
противоречия
главных форм
Формы
правдоподобны
заданной системы отрицательный
Вычисление
динамических
силовых факторов
по ( 1.64
)
Статическая
и кинематическая
проверки
– с.
59,
ф-ла (
1.63
)
К
Результат
положительный
Рис. 1.25
Матрица как обобщённая характеристика динамических свойств системы играет в данном варианте расчёта ( в форме ме-тода перемещений ) ту же роль, что матрица податливости в расчёте в форме метода сил ( см. с. 54 ). Диагональные компонен-ты матрицы содержат динамические поправки:
= rii – 2 rii – ai . ( 1.67 )
Умножением на a –1 уравнения ( 1.65 ) приводятся к виду B –= 0, т. е. к стандартной задаче о собственных значениях
матрицы B = математически решаемой так же, как в рас-
смотренном ранее варианте с матрицейи неизвестными J: не-тривиальное решение при y 0 ( условие существования колеба-ний ) даёт характеристическое ( частотное ) уравнение:
DetDet ( r – a )
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Найденные корни уравнения ( 1.68 ) 1 , 2 , …, j , …, n используются для вычисления собственных частот j = ( j = 1, 2, ..., n ).
Далее для каждого значения частоты j определяется соответствующий собственный вектор основных неизвестных y( j ) = – решением редуцированной системы уравнений
y(j), red + = 0 ( 1.69 )
и
(1.69*)
По вектору y( j ) вычисляется собственный вектор инерци-онных сил y(j) = a J(j) , ( 1.70 )
после чего заключительный этап – проверка результатов расчё-та – выполняется по методике, изложенной на с. 59 – 60.
Весь расчёт на собственные колебания по уравнениям в форме метода перемещений производится по тому же алгоритму, что и в варианте в форме метода сил ( рис. 1.25 ) – следует лишь заменить в нём J на y, на r.
Для компьютерной реализации, в том числе в форме мето-да конечных элементов, наиболее приспособлен подход, осно-ванный на формировании уравнений динамики для расчётной модели, по смыслу представляющей собой основную систему классического метода перемещений ( ОСМП ), где в качестве основных неизвестных Z принимаются перемещения расчётных узлов ( в динамической задаче о собственных колебаниях Z – амплитуды перемещений ). В этом подходе особенностью ОСМП в динамике является то, что кроме расчётных узлов, назначае-мых по правилам метода перемещений, использовавшимся ранее для случаев статических воздействий, в число расчётных узлов включаются также точки расположения масс. При этом часть
основных неизвестных Z – суть перемещения масс yi ( ) по
направлениям их степеней свободы. Полный вектор перемеще-
ний Z представляется состоящим из двух частей: Z = [] т ,
где Zmу – вектор амплитуд компонентов перемещений масс; Zd – вектор перемещений, не являющихся степенями свободы масс. Число компонентов вектора Zm = у равно n, количество пе-ремещений Zd обозначим nd , тогда общее число неизвестных Z будет n0 = n + nd . Система статических уравнений метода пере-мещений R0, i = 0 ( ) состоит из двух групп, выражающих:
1
dk
Ji
+1
R0,
dk
н
Ji
ч
i
+1
i
R0,
i
непосредственно воспринимающих в
О
R0,
i
+1
J
Рис. 1.26
=; ( 1.71 )
2) отрицание полных реакций всех остальных дополнительных связей в расчётных узлах:
R0, i = R0, iZ = ( 1.72 )
Система канонических уравнений в матричной форме:
( 1.73 )
где – матрица динамической жёсткости выбранной основной
системы метода перемещений;
r0, yy – матрица реакций дополнительных связей в ОСМП по
направлениям степеней свободы масс, от их единичных
смещений ( от Zmi = 1, );
r0, yd – матрица реакций дополнительных связей в ОСМП по
направлениям степеней свободы масс, от единичных
смещений других связей по направлениям, не совпада-
ющим со степенями свободы масс ( от Zdk = 1, );
r0, dy – матрица реакций связей в расчётных узлах ОСМП по
направлениям, не совпадающим со степенями свободы
масс, от единичных смещений связей по направлениям
степеней свободы масс ( от Zmi = 1, ); r0, dy = .
r0, dy – матрица реакций связей в расчётных узлах ОСМП по
направлениям, не совпадающим со степенями свободы
– матрица (
n
x
n
) приведённых
масс.
Если ввести в рассмотрение расширенную матрицу масс
(
1.74
)
г
темы МП
по
направлениям
всех неизвест-
ных Z
=
[]
т .
Вычисление r0 возможно любыми известными способами – статическими и кинематическими, в том числе через матрицу внутренней жесткости K0 по формуле r0 = aeт K0 ae ( здесь аe – матрица смещений узлов элементов ОСМП, в собственных ло-кальных осях, от единичных основных неизвестных Z; K0 – блоч-ная диагональная матрица, формируемая из стандартных матриц жёсткости для элементов определённых типов ).
Вводя, как обычно, в рассмотрение собственное число = m0 2 , представляем уравнения ( 1.74 ) в виде
где
Частотное уравнение получается как результат постанов-ки условия существования колебаний Z 0 – нетривиальное ре-шение однородной системы ( 1.74 ):
( 1.76 )
Независимо от общего числа n0 перемещений Z порядок алгебраического характеристического уравнения ( 1.76 ) равен числу степеней свободы масс n , так как собственное число ,
связанное с частотой , присутствует только в блоке ( n x n )
матрицы.
Из уравнений ( 1.73 ) формально математическим путём мо-гут быть получены уравнения собственных колебаний ( 1.65 ), т. е.из табл. 1.5, относящиеся не к ОСМП, а к заданной систе-ме. Это можно истолковывать как применение кинематически неопределимой основной системы с расчётными узлами только в точках расположения масс и с неполным их закреплением – лишь связями по направлениям независимых возможных пере-мещений масс, т. е. с расчётной моделью по рис. 1.20 ( при от-сутствии заданных воздействий ). Для указанного преобразова-ния из второй группы уравнений ( 1.73 ) неизвестные Zd вы-ражаются через главные неизвестные – перемещения масс y :
Zd = – Подстановка этого выражения в первую груп-пу уравнений ( 1.73 ) даёт систему из
которой следует формула для вычисления матрицы динами-ческой жёсткости заданной системы:
( 1.77 )
с переходом к уравнению частот собственных колебаний