Задачник по теоретическим основам электротехники. Теория цепей. Учебное пособие для вузов
.pdfгде на основании законов ,коммутации при t '7' О
i2 (О) = 12 (О - ) И ис (О) = ис (О --).
Числовое значение i2 (0-) определяем из расчета режима до комму
тации:
i2m_=Ёml('l+Г2+jХl)=0,284 L 82050/ А,
откуда i2 (0'-:"") = 0,284 sin 82050/ = 0,28 |
А = i2 (О). |
• |
Так как ис (0-) ~ О, то и ис (О) = |
О. Кроме того, по условиям за- |
|
дачи u (О) = 100 В. При этих' начальных значениях из ураврения (2)
для |
t = О находим: i1 (О) = 0,5 А. |
,, |
|
Для определения (di1/dt)o дифференцируем уравнения (2) и под |
|
ставляем t == О: |
|
|
|
(Гl di1/dt)f) + iз (О)/С= (dul4t)o, |
|
где |
(da/dt)o'=f)mO) cos (п/2) =0 |
|
иiз (О) = i1 (О) ~ i2 (О) = 0;22 А.
При этом (di1/dt)o = -5 А/с..
Из уравнений (а) и (б) находим постоянные интегрирования:
А = 0,190 А и В = -0,086 А.
5) Решение записываем в виде |
|
i1 = 0,411 вin (62,8! +105? 37/) + О,19Ое-67!- 0,086e-170' |
Л. |
9-88. Применяем . интегральное преобразование Дюамеля. В ин |
|
тервале О < t < t1 ток |
|
t |
|
i1 (t) :::u (О) h (t) + ~ и' (6) h (! - 6) d6, |
(1) |
о
тде
h (t) = 0,05 +O,025e- 108i См; h (t-6) =0,05 +0,025e- 108 (t-&); u (о)=и; и' (6)=~'аИе-ае.
Подставляя эти значения в выраж~ние (1), получаем:
i1 (t) = 2+le- 108t + 2е-5000 '~_ |
le- 108tе500О '~= lе-500! + 2e- 1ooot |
А. |
|
В |
интервале t > (1 |
|
|
|
{ 1 |
|
|
|
i1 (t) = u (О) h (t) +Sи; (6) h (! - 6) d6 -'и (t1 ) h (t - ti). |
(2) |
|
|
о |
|
|
Здесь |
|
|
|
, |
u(tJ=Ue-аt1 =5,4 В; h(t-tl)=О,05+1~37е-l08t См., \ |
|
|
I10дставляя, эти значения |
в 'выражение (2), получаем: |
|
|
|
i1 (t) = |
- 1,2,8e- 108! А. |
|
Числовое значение тока в момент t = 0,003 с, вычисленное по вы ражению, которое получено для п~рвого интервала, равно' 0,325 А.
Заметим, что скачок тока в момент t1 легко проверить, пользуясь
равенством
9-96. Решение задачи можно провести различными методами, на
пример: а) применяя интегрвл Дюамеля; б) непосредственным интегри
рованием дифференциального у.равнения цепи;' в) операторным методом.
а) |
Напряжение на |
конденсаторе при t > О |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
иС (t)=u (О) h (t) + Sи' (6) h (t-6) d6, |
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где и(О)=О; h (t)=I_e-t/гС • |
|
|
|
|
|||||
Обозначим: аl = а; |
~ = 4а; Ь = l/гС. |
|
|
|
|||||
Тогда |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
и |
h (t-6) = l_e- b(t-O); и' (6) = ио(- ale-а1О +~е-аио) |
||||||||
|
|
. t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
иС (t) =цо S(- a1e-а1'J +a2e-аиО) [1~_e-b(t-O)] d6 = |
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
=и [_I_{be-alt_ae-bt) |
l_{be-ast_ae-bt)] . |
|||||||
|
. |
о Ь- аl |
. |
1 |
b-~ |
ii + ис = |
2 . |
||
б) |
Дифференциальное уравнение |
цепи |
и, - где i = |
||||||
= Cduc/dt, или |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
rC d;tC +ис=и=ио(e...:.... at _ |
e- 4at) |
|
||||
имеет |
решение ис = UСпр + иссв' |
|
|
|
|
||||
Решенuе однородногоуравнения (при u = |
О) |
известно: |
|||||||
|
|
|
|
'иссв = Be-t/гС• |
|
|
|
||
Частное решение того же уравнения |
|
|
|
||||||
|
|
|
Uспр=Uо |
е-а' |
e-4at |
) |
|
||
|
|
|
( l-агС 1-4агС; |
|
|||||
Начальное |
условие |
иС = UСпр + ис св = О |
при |
t = О, откуда |
|||||
определяется постоянная |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
В=-ио(1...:....~гC |
l-1а.гс)· |
|
||||
Результат, конечно, совпадаег с результатом, найденным в П. «а».
в) См. решение задачи 9-116.
9-103. Условие непрерывности потокосцепления для контура "
L выра,жается в задаче условием |
|
|
|||
|
|
|
Mi1 (0-) = |
-и2 (0+). |
|
Искомый ток |
|
|
1;'О +> еPlt .) |
О,2е-416' А" |
|
t• '- |
- 'е |
2 |
. |
||
2 |
|
_ = - |
|
||
9-105. В рассматриваемой цепи непрерывность потокосцепления
выражаетс;я равенством
i1 (О - ) L1 + iz (О - ) L 2 +: [i1 (О ~) + 12 (О -)] м = i (О +) [L1 +L 2 +: 2М],
в котором знак <~-» относится к варианту «3», а знак «+» - к вари
анту «б».
9-116. Уравнение Кирхгофа в операторной форме (преобраэование Лапласа)
г/ (р)+ис (р)=и(р),
где ток и входное напряжение: |
|
(_1 |
|
|
/(р'\ |
и(р). И( )-и |
1_) |
||
I |
г+ l/рС ' |
р - |
о р+а р+4а· |
|
После преобразований получаем изображение искомой функции:
ио |
[1 |
|
. |
1 |
] |
|
|
ис (р)=.,с |
<р+а) (Р+ 1/,С) |
(р+4а) (Р+ 1/,С) |
• |
||||
Обозначая: аl = а; ~ = 4а; Ь = |
1/,С, находим оригинал искомой |
||||||
функции: |
|
|
|
|
|
|
|
ио [ |
|
1 |
,1 |
|
|
] |
|
ис (t)= ,с |
.b-~ (e- a1t - е-Ы) - |
b-~ (e-a!t _е-Ы) |
". |
||||
Результат совпадает с полученным в задаче 9-96. |
|
|
|||||
r, |
|
|
|
pL |
|
|
|
r.
Рис. 9-117Р. Рис. 9-119Р.
9-117. ·Составим эквивалентную операторную схему (рис. 9-117P),
где э. д. с. ис (0)/Р учитывает ненулевые начальные условия. |
.- |
|||
Применим метод контурных токов: |
|
|
|
|
('1 +'2+ l/pC)I11 (р) + '1122 (р) =Е (р) -ис (О)/р; |
|
|||
'1111 (р) +('1 +'з) 122 (Р)=Е (р), |
|
|
||
где |
|
|
|
|
Е ('З+'4) |
40 В. |
|
||
'1+'З+'4, |
|
|
||
Решая систему этих уравне.ниЙ,· получаем изображение искомой |
||||
функции: |
|
|
|
|
3+'40рС |
Р |
(р) |
. Р (р) |
|
11 (р) =111 (р)+122 (р)=. р(1 +15рС) = |
РР1 |
2(р) = F1з(р)' |
|
|
Для нахождения оригинала можно пользоваться таблицей ориГ~. налов и изображений (приложени~7) или примениrь теорему разлож~
.ния:' |
- |
|
|
|
|
pi |
|
|
|
|
|
|
|
|
. _ |
~Pl (Pk) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tl - |
" - p~ (Pk) ~ |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
Корни Рl = О; Р2 = |
|
-1I15C определяются из уравнения Fз (Р) = О. |
|||||||
|
Подстав~яя з~ачения корней, получае~: |
Р1 |
(Рl) =~; |
Р1 |
(Р2) = |
|||||
= 0,33. Так как Р8 |
(Pk) |
=.1 + 30 Срсто Р8 |
(Pt). = |
1 и Рв |
(Р2) |
= -1. |
||||
|
Искомая функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
=3_0,33е-6,67 ·10" |
А. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9-119. Эквивалентная операторная схема изображена на рис. 9-119P. |
|||||||||
где |
э. д. с. LiL (О) |
учитывает |
ненулевые |
начальные у.словия, |
приqем |
|||||
iL (О) = iL (0-) = |
Е/,. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Для определения изображения искомого тока применим, напри-
мер, теорему об активном двухполюсни~: '
|
. 1 (р) |
иабх (р) |
|
(1) |
||
|
|
Z (р) + ZBX (р) |
, |
|
|
|
где в режиме холостого хода |
|
|
|
|
|
|
- |
. Е (р) +LiL (О) |
|
(E/p+LE/r) r |
|||
иаб~ (р) = 1Lx(P) т= |
r+pL |
r |
|
|
|
|
|
r+pL |
|||||
|
|
|
|
|
||
и сопротивления в операторной форме |
|
|
|
|
||
Z (р) =Г; ZBX (р) =rpLI(r+'pL). |
||||||
Послеподстановки полученпьrx выражений D формулу (1), имеем: |
||||||
1 (р) |
Er/2L |
|
Е |
|||
гр(p+,r/2L) + 2, |
(р+r/2L) ; |
|||||
ориги~ал этого операторного изображения
t=,. Е -Е -~t
,·2L
2ге -
9-124. Составив уравнения в операторной форме (методом узловых
потенциалов или, любым другим методом) с учетом независимых началь
ных условий
i1 (0)=i1 (0-)=5 А; ис (О)=ис,О-)=О,
получим следующее изображение искомой функции:
, |
|
100+2,5· 1.0-2р |
|
Р1 (р) |
12 |
(р)= |
20р+6 ',10 3р2+0,5. 10 |
в~ |
= Fз(р)' |
Для нахождения оригинала применим теорему разложения:
. ~P1 (Pk) |
pi |
(1) |
|
t2 = "- p~ (рk) е .. |
|||
|
|||
Корни Р1 = О; Р2.з = -6 ·103 -t- j |
2 ·1O~ = -сх -t- j~ определяем |
||
из уравнения Fз (Р) = О. |
|
' |
|
Заметим, что сумма :ЦВУХ слаг*мых от комплексных 'сопряженных
корней Р2 и Р3 В выражении (1) равна удвоенной вещественной части
слагаемого' от одного из корней. ПОЭТОМl далее расчеты проводим для
корней Р1 = О и Р2 = -6·103 + j 2·10 .
Вычисляем: Р1 |
(Р1) = ]00; Р1 (Р2) = -50У2" L _45°. |
|||||||
Так как РЗ(Рk) = 20 +'12 ·10-3 Рр + 1,5 ·1Q-6 Pk' |
то Fз (Р1) = 20 |
|||||||
и Р; (Р2) = -12,7 |
L 71°35'., |
. |
|
|
|
|
||
Вычисляем слагаемые выражения (1): |
|
|
|
|||||
,Р1 (Р1) |
е |
Plt |
-5' |
'F1 (pJ |
P2t -5 57 -6·108t |
е |
j(2·108t-H6°35') |
|
p~ (Р1) |
|
- , |
p~ (pJ е |
- , |
е |
|
||
и сумму второго и третьего слагаемых, равную
Re [2,. 5!57e-6.103t е'Н2·108t....:.116° 35:)] = 1l,2e-.6 ·108t cos (2 ооое -116° 35').
Таким обраЗ<;lМ, оригинал име~т вид:·
i2 (t) = 5 + 11 ,2е- |
в |
ooot sin |
(2 OOOt - 260 35') |
А, |
|
что совпадает, ~онечно; с. результатом, полученным в задаче 9-56. 9-128. Учитыв-зя последовательно включенные э~вивалентные
э. д. с., соответствующие ненулевым начальным усло;виям для токов
В индуктивностях L1 И L2 , получаем изображение _
1 (р) = |
Е (р) + L1[10+L2/ 20 |
= |
_Е_ |
а |
+ L1/ 10 + L2 / 20 |
_1_ |
, |
гl+Г2+Р (L1+LJ |
|
гl +'2 р (р+а) |
L1+L2 |
р+а' |
|
где |
110 = i1 (0-); 120 = i2 (0-); |
а = (гl + (2)/(L1 + L2). |
|
|||
|
|
|||||
Записанному выражению |
соответствует оригинал |
|
||||
|
..-I |
|
|
|
|
|
|
E |
(1 - e-at) + i (О +) e-at, |
|
|||
|
i = -- |
|
||||
|
'1 +'2 . |
|
|
|
||
где
9-129. При расчете полного значения тока следует, как о~ычно,
учитывать изображение э. д. с.. источника Е (р), что в данной задаче дает, два дополнительных' корня.'
9-136. Б) Дл~ заданной цепи
j =i Г2+ l/jroG
1 гl+г2+ IПroС •
После простых преобразований написанному выражению можно придать такой вид:
, |
j _i(_b_+_r_2_~) |
|
1 - 'b+jro Гl+ Г2 b+jro ' |
где lIЬ = G'('1 + '2)'
Последнему. ВЫРtiжению соответствует ток переходного режима
при подключении к и~точнику постоянного тока J и нулевых начальных
условиях:
i1 =J [(I-е-Ы) +_'_2-е-ы]-.
Гl+ Г2
9--139. МQЖно исходить из выражения для тока в комплексной
форме
. и
1=- _
г1+jroLI' .
Врезультате решения получаем ток переходного процесса при под ключении к источнику постоянного наПРtIжения И и нулевых началь
ных условиях:
|
i =; |
, |
|
и [1- 0,5 (e:- i /1:1 + e- t/1:2 )] , |
|
где '1'1 = |
0,1 мкс; '1'2 = |
100 мкс. |
Ток, начинаясь с нуля, чрезвычайно быстро достигает значения |
||
0,5 И/г, |
а затем с постоянной времени '1'2 (превосходящей постоянную |
|
времени, ПОЛУЧRЮЩУЮСЯ при независимости индуктивности от частотЫ, т. е. a.Lo/2') приближ~ется к току установивIiIегося режима И/г.
Энергия,. рассеиваемая по' закону Джоул'я-Ленца за половину пе-
риодаJ |
|
|
. |
,11: |
|
2а, |
t |
1 ~ |
rI~e |
-- 00 |
sin2 оо! doot= |
I1wr~ |
00 |
||
00 |
, |
|
|
.0 |
|
|
|
|
" =!;-/~ (аsiП2Х-2sinХ'СОSх+~)~11I: = |
|||||||||
|
00 |
|
|
|
|
|
|
а .a~+ |
4 |
о |
|
|
= |
~I2 ea1l:--::-1 ~:=:::::P ~~. |
|
(г)- |
|||||
|
|
|
00 |
о а2 |
+ 4 |
'а |
о |
(i) а2 + 4 ' |
|
|
здесь а = |
2а.JФ |
и х = |
oot. |
|
|
|
• |
|
|
|
При |
а./оо = |
0,01 |
можно |
пренебречь |
велич~ной |
а2 по сравнению |
||||
с 4. В таком случае: |
|
|
|
|
|
' . |
|
|
||
|
|
|
|
I1w, ~ I~rT/4. |
|
|
(д) |
|||
Полагая, чт~ полная возможная энергия магнитного поля в колеба- |
||||||||||
тельном контуре |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. I~ L/2=UgCo/2=w (О +)t |
|
(е) |
|||||
находим, |
что |
|
|
|
|
w (O+)IL. |
|
|
||
|
|
|
|
/~/2 = |
|
(>!<) |
||||
Таким образом, оказывается, |
чf!:> |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
r |
т |
|
|
|
|
|
|
I1wr =w (О +) Т |
'2 |
|
(3) |
|||
и совпадает с приростом энергии (в).
Можно заметить, что (3) можно· было получить непосредственно,
как произведение квадрата действующего значения тока I~/2, сопро-
тивле~ия r и длительности процесса Т/2. |
|
- |
|||||||||
. |
9-165; |
Решение аналогично приведенному ДЛЯ задачи 9-163. В -пер |
|||||||||
вой четверти |
периода |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i = /0 e-ai(cos oot- :, sin oot); |
(а) |
||||||
|
|
|
|
ис= ..~'e-a,t sin ro! . |
|
(б) |
|||||
|
|
|
|
. |
J' |
CILo' |
|
|
|
||
= |
В |
этих |
фОрмулах 00 |
~ v1/LoC = 2nlT = |
509t-1 ; |
а. = r/2Lo = |
|||||
5с-1• |
- |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
.Можно считать, что при первом увеличении индуктивности (i = О; |
||||||||||
t = 't" |
~ Т/4) |
|
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
|
|
ис ('t")=~е-а,Тi4. |
|
(в) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
YC/Lo |
|
|
||
|
.после увеличения индуктивности 'ток и напряжение выражаются |
||||||||||
равенствами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
I |
|
i = _ |
ис (t). |
e-a,t1 sin <й t . |
(г) |
||||
|
|
\. |
|
YC/(Lo+I1L) |
11, |
|
|||||
|
|
|
|
ис=ис(-Т) •е- |
Ы1 |
(cos |
Фtt1- : .sin oo1t1 ); |
(д) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
здесь Фt= Уl/С (Lo+I1L); |
t1 =t-т;. |
|
|
|
|||||||
так как УМеньшение индуктивности приводит К возрастанию тока до
значения [о' Значение i (1'1-) известно из решения предыдущей задачи
[формула (ж)]; поэтому
'2 ( |
) |
Lo/~ |
- аТ |
Lo/g (1 |
-а |
1)" |
. |
t "Тl- |
|
=L +!J.L е |
|
~~+!J.L |
|
||
|
|
о . |
|
о |
|
|
|
После подстановки в предыдущую формулу находим:
1 |
r |
Т |
!J.w=2-Lо/~аТ=w(О+) Lo |
2' |
|
. Последнее выражение совпадает с энергией, рассеиваемой по за кону джоуля - Ленца. действительно, K~K было показано подробнее
в решении задачи 9-164: |
|
|
|
|
|
|
|
л _ |
[2 |
Т'/4_ |
1 L /2 'г |
т |
|||
IJ.wr - |
о' |
/ - |
2 |
о о |
L |
o |
2'- |
|
|
|
|
|
|
|
|
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 1( ГЛ. 10
10-2. Последовательно с рубильником включаем две одинаковые э. д.. с., направленные ~австречу друг другу и равные по величине на
пряжению на разомкнутом рубильнике. На основании принципа нало жения эгу схему можно заменить двумя схемами рис. 10-2Р, а и б.
Схема рис. 10-2Р, а после замыкания рубильника дает режим в ли нии до коммутации, а схема рис. 10-2Р, б - переходный режим.
Е
гZ81:e·Z8Z
б)
г) |
О) |
|
Рис. lO-2Р. |
При замыкании от рубильника по обеим линиям будут распростра няться волны напряжения. Из схемы замещения рис. 10-2Р, в получим:
i2пр= -ilВСТР= гВl ~гВ2 "'---14,45А;
иIВСТР = ilBCTpZBl = - 0,72 кВ.