Задачник по теоретическим основам электротехники. Теория цепей. Учебное пособие для вузов
.pdf
Так как сЬ 2аг - |
1 = |
2sh9 аг, |
то получаем сЬ 2ar = 2oot/oo~ - 1, |
|||
что совпадает с |
выражением |
для |
ch а у |
Т-или П-образной схемы. |
||
С.ле~овате.льно, |
2аг = |
а |
или |
аг = а/2. |
|
|
7-57. У паралле.льно-производного фильтра поперечное сопро |
||||||
тивление изменяется |
в т |
раз, |
т. е. Z2m = |
Z2/m (рис. 7·57Р, а). Про |
||
дольное сопротивление Zlm выбирается так, |
чтобы характеристическое |
|||
Ztm/2 |
|
Ltm/2 |
|
Ltm/2 |
~ |
|
|||
Е |
~ 2 I |
,_, |
~ |
|
а) |
|
б' |
|
б) |
|
|
>- |
|
|
|
|
Рис. 7-57Р. |
|
|
сопротивление ZCl = |
ZПm фильтра типа т совпадало с |
характеристи |
||
чес~им сопротивлением ZC1' = |
Zп фильтра типа k, т. е. |
|
||
V Zlm Z2m/"1 /1+ {lm = V ZlZ2/"1 / 1+ :; , |
||||
|
JI |
,2т |
JI |
2, |
откуда при Z2m = Z.im определяется
2/Zlm = 2/mZl +(1- m2)/2mZ2'
Из полученного выражения следует, что сопротивление Zlm/2 состойт
из двух |
пара.ллельно |
включенных |
ветвей |
с' |
элементами |
,mZ /2 |
и |
|||||||
2mZ /(1 |
- |
m2) .. |
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
||
2А. Для низкочастотноrо фильтра 2Z = 2/jOOC И 2Z /m = 2/joomC= |
||||||||||||||
= 2/jOOC2m |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
, т. е.В поперечной ветви должен быть конденсатор емкостью |
||||||||||||||
С2m/2 = mС/2 = 0,5С/2 = 0,025 мкФ |
(рис. |
7-57Р, б)._У |
низкочастот |
|||||||||||
ного фильтра |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Zl/2=jooLj2 и |
.jooL1m/2=mZ1/2 = |
|
о,5'/ооЦ2, |
|
|
|
||||||
·т. е. индуктивностьL |
1m |
/2 = mL/2=50 мГ; соответственно 2mZ /(I.,....- m2) = |
||||||||||||
= 2m/jOOC |
2 |
|
|
И 2 С |
= (1 - |
|
2 |
)С/2m= |
2 |
|
|
|||
(1- m ) = l/joo2C |
|
m |
0,075 мкФ. |
|||||||||||
|
|
|
|
1m |
|
1m |
|
|
l/joo2C, 2Z2 ~ joo2L |
|
||||
Б. Для высокочастотного |
|
фильтра "Zl/2 = |
и· |
|||||||||||
|
|
|
|
|
k= УЦС. |
|
|
|
|
|
(а) |
|||
,Затухание а фильтра типа т определяется (как и фИJIьтра типа k)
из выраженйя ' .
a .. .r |
. |
a .. . |
r |
~lm/4z2m • |
ch 2=" 21m/4z2m |
или |
sh 2= r |
||
- |
|
|
в обоих случаях а = 00 при Z'lm = 00, |
или |
|
2/mZ1 +(I-m2)/2mZ2=0' |
|
|
откуда частота 0000' при которой затухание |
беСJ:<онечно I велико, |
|
0000= Уl-m2/2 VLC =2лfC1J' |
(б) |
|
Иа (а) и (6) |
находим L = 50,7 мкГ и С = |
0,0317 мкФ.. |
|
||||
Составляем схему полузвена типа т (р·ис. 7-57Р, ~) и находим пара |
|||||||
метры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Z2m = 2Z2/т = jm2Ljт= jro2L2m, |
|
|
|||
т. е. 2~m =. 2L/т = |
0,17 мГ; 2/Z1m - |
проводимость двух |
параллель |
||||
ных ветвей, |
проводимость первой из них 2/mZ1 .= jro2C7m, |
т. е. емко |
|||||
1m |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
стная и 2С |
= |
2С/m= 0,106 мкФ, проводимость второй (l-m2)/2mZ = |
|||||
= (l ~ m'1i)/pjro2L, |
т. е. индуктйвная |
и L |
/2 = m· 2L/(1 - m ) = |
||||
= 0,095 мГ. I |
|
|
1m |
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
||
7-60. На рис. 7-60 показаны выбранные положительные направ ления напряжений и токов. Уравнения цепи в режиме хо:Лостого хода:
(;1 =i1X Z1/2; 0= (;2X-ilХZМ' .
где |
Zl = j(I.fJL -:- l/roС); ZM = jroM. |
|
|
|
|
|
||
|
По определению |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
А =eh g= ch (а+ jb) = (;1/(;2Х |
|
|
||||
или с учетом уравнений цепи |
fI |
|
|
|
|
|||
|
|
ch а. cos Ь+ j |
sh а . sin Ь= |
roL-l/roС |
|
|||
|
|
. |
|
м |
2roМ |
|
||
|
В По-лосе'пропускания а = О, т. е. |
ch а = 1 и 'sh а = О, и |
||||||
|
|
cos Ь |
roL-l/roС |
|
|
|
|
(а) |
|
|
|
2roМ |
|
|
|
|
|
где |
учтено, ~TO М~kc:.B VLl~== kCB -V(Ц2)2= kсиЦ2. |
|
||||||
|
На |
границах полосы |
пропускания |
cos Ь = |
-+- |
1. |
|
|
|
При |
~S Ь F - 1 из. (а) находим, |
что |
|
|
|
||
|
|
00=(/)1 = llУ LC (1 +kc:.B) =64,5 . 1()8 |
C 1 t |
|
||||
И при соз Ь = + 1 получаем |
|
|
|
|
|
|||
|
|
ro=ro2= llУLC (l-kСВ) --=78,7. 1()8 |
с-1., |
|
||||
откуда граничные частоты |
полосы пропускания 11 = 10,25 МГц; 12 = |
|||||||
= |
12,55 МГц. |
|
|
|
, |
|
|
|
|
ХарактерИ'стическое' сопротивление |
симметричного |
четырехпо |
|||||
Jlюсника |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б) |
|
.Входное сопротивление фильтра в |
режиме |
холостого |
хода Zx = |
||||
= Zl!2. Входное сопротивление при коротком замыкании найдем ~з
уравнений |
"" |
(;1 =/IkZl/2-/2КZм; |
0=/2KZ1/2-/IJ(ZM' |
откуда ZK = U/I1K = Zl/2 - 2z~iZl'
Подставляя ZK и Zx И формулу (6), получим
Zc=VZU4-:-Z~.
При .част.оtе 000 = 1/ Jllё сопротивление zt = о и Zc ==
= k21! 1/ЦС=70,7 Ом.
Задачу м~жно также решить, применив развязку' индуктивной
СВJ3И. ,
7-62. Напряжение на входе можно представить в виде суммы трех гармоник: нижней боковой, несущей и верхней боковой:
и1=41 +cos Qt) cos rot=
=0,5 cos (ro- Q) {-+ 1 cos rot+O,5 cos (ro+ Q) t.
а) При согласованной нагрузке и 11 = 150 кГц все три гармоники
попадают в полосу пропускания фильтра, поэтому коэффициент зату
хания а = О, т. е. амплитудных искажений нет. Сдвиг по фазе любой
гармоники определяется коэффициентом фазы Ь. ДЛЯ низкочастотного
фильтра в полосе пропускания sin (Ь/2) = |
f/lrp и |
при частотах 11 - |
|
- F = 140 кГц; 11 = 150 кГц' и 11 + |
F = |
160 кГц |
коэффициент фазы |
соответственно равен 89;' 97 и 1060. |
Поэтому |
|
|
и2=О,5 cos (2п . 140· l()Зt-890) + 1 cbs (2п· 150· 103t - 970) +
+0,5 cos (2л· 160 .. 1()Зt-l060 ).
, Так как кОЭффициент фазы не пропорционален частоте, то фаЗ0вые
иск'ажения есть.
б) При 12 = 200 кГц нижняя боковая и несущая находятся в по
лосе пропускания~ для них а = О. Верхняя боковая попадает в полосу
непропускания. 1(0Эффициент затухания на этой частоте найдем ПО
формуле |
сЬ (а/2) = f/lrp' |
При |
1= 12 + |
F = 210 кГц |
получаем |
а = |
= lп U1/ U2 = 0,66 Нп и |
U1 = |
1,95 U2 • |
I(оэффициент |
фазы при- |
ча |
|
стоте 12 - |
F= 190 кГц равен 1.440, а при граничной частоте 12 = 200 кГц |
|||||
и в полосе непропускания при частоте 12 + F = 210 кГц не изменяется
иравен 1800. Следовательно,
и2= 0,5 cos (2п. 190· l()Зt -1440) + 1 cos (2п . 200 . l()Зl -1800) +
+,0,26 cos (2п· 210· J03t-I800 ) . .
в) Для третьего сигнала, спектр которого целиком находится в по лосе непропускания (подавляемый сигнал), проводим расчет так же, как
для верхней боковой в случае «б»:
1, |
' 9 -р |
19 |
|
,в+р |
|||
|
|
|
1,24 |
|
1,38 |
|
1,51 |
|
а, Нп |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
U1/U2 |
|
3,47 |
|
3,98 |
|
4,54 |
|
|
|
|||||
Третий сигнал ослабляется недостаточно. |
|
||||||
7-65. Для фильтра |
рис. 7-65 |
продольное сопротивление ZI = |
|||||
= jX1 = j(roLt - l/roC1), |
поперечное |
Z2 = jX2 = - |
j/roC2 • Граничные |
||||
частоты полосы пропускания можно найти графически. для' всех сим·
метричных Т- и П-образных фильтров полоса пропускания определя
ется как· интервал частот, в ~OТOPOM хl И Х2 различны по знаку и [х1[ ::::;;
::::; 14х21.
Из уравнений типа У: |
|
11 = Yl1Ul +У'12й2; /2= У21й1+У22й2 |
(а) |
при разомкнутом выходе (/2 = О) ~аходим передаточную функцию
|
Нu= ~2= _ Y 21 = |
j (х/г-г/х) . |
|
|
и1 |
У22 4+Г(х/г-г/х) , |
|
а) |
При х = roL и Г/Хо = 1 |
получаем |
х/г = ооL/ЮоL = ro/Юо и г/х = |
= |
roo/оо. Тогда |
|
|
|
Н· |
(щ/roо- |
roо/ro) |
|
(ro/ооо-roо/ОО) - j4' |
||
|
и |
||
1) В режиме короткого замыкания (и2 = О) из уравнений (а)
получаем:
|
|
i1K =Xl1Ul; |
i2K = у21Й1• |
|
|
||
|
После подстановки |
коэффициентов У11 и У21 находим, |
что при |
||||
х= roL = |
О,8г |
|
|
|
|
|
|
|
|
i1K =K·l,57 L-45°; |
i2K =K·0,176 L-128°40', |
|
|||
где, К = |
U1/'-. |
|
|
|
|
. |
|
'7-72. Составим .эквив.алентную расчетную схему с заданным ис |
|||||||
точником |
э. д. с. Е1 = |
и1 |
И источником неизвестной |
э. д. с., Е2 = |
|||
= гпiи = |
й2 (рис. 7-72Р). Для' схемы' по рис. 7-72Р по· методу узло- |
||||||
вых |
потенциалов |
|
|
|
|
.'1 |
|
|
|
UВХ= (E1 jroC +Ё2/~)/иroС+ 1/г) |
|
|
|||
или |
после подстановк~ |
значений |
й1 = Ё1; й2 =;= Ё2 И |
ивх, |
которое |
||
по |
УСЛОВИЮ.равно ~ и2/А: |
\ |
|
|
|
||
|
|
UJA +UJ(l +jroCr) = ~UljooCr/(l +jooGr).. |
|
||||
отсюда следует, что |
|
|
|
|
|
||
|
|
и,,= - jro1: [1 +f (ro)] Ui, |
|
|
|||
где |
1: = |
Сг; I(ro) = - |
(l + jro1;)/(A + 1 + jro1:). |
. |
|
||
Найти пределы изменения частоты, при которых 1(00) не превышает
заданного значения, теперь' не сложно.
|
z; |
|
~. |
|
4~ |
Рис.. 7-72Р. |
Рис. 7-75Р. |
7-73. Ход решения этой задачи подобен ходу решения задачи .7-72. 7-75. При сост.авлении обратного двухполюсника последовательно
включенные элементы и участки заменяются параллельно включенными
элементами и участками и наоборот.' Для цепи по рис.' 7-75 последо
вательно включенные элементы L1 и С1 |
С сопротивлениями Zl = jroLt, |
|
и Z2 = |
1/jroC1 заменяются параллельно соединенными Z~ и Z~ (рис. |
|
7-75Р). |
Элемент Сз 'с сопротивлением |
Zз = l/jООСз, соединенный. п,- |
По з.аданноИ ~xeMe и пэ.рамеТрам находим t!ХОДное сопротивление
48· 10-2Орl+ 16· 10-1Ор2+ 1
z (Р)= 96.10 18р3+ 13 .10, 8р
Располагаем полиномы по возрастающим степеням и выполняем
деление: |
|
|
|
1 + |
16· 10-1Ор2+48· 10-2Ор4 |
'1 13· 10-8р+96· 10-18р3 |
|
-1 +7,4· 10-1Ор2 |
1 |
. 1 |
|
.. |
7,6.10 10p2+<i8· 10 20р4 |
р. 13· 10 8 |
pC~ j |
|
|
||
откуда C~ = |
0,13 м~Ф. |
|
|
ох
а) |
б) |
Рис. 7-81Р.
Для выделении второго элемента делим делитель на остаток
13· |
10-8р+96. |
10-18р3 |
7,6. 10-1Ор2+48· 10-2Ор4 |
-13· |
10-8р+82. |
1О-18р3 |
171 1 |
|
14·10 18р3 |
р=pL~ |
|
откуда L~ = 5,85 мГ.
Для выдеЛения третьего элемента опять делим делитель на остаток
и сразу получаем четвертый элемент:
7,6· 1О-1Ор2 |
48· 10-2Ор4 |
1 |
_ |
14,.10 18р3 + |
14.10 18р3 |
. р. 1,84.10 |
8+.Р· 3,43·10 2, |
откуда C~ = 18,4 нФ |
и L~ = 34,3 мГ. |
|
|
7-89. Если у Z (р) высшая .степень полинома числителя такая же
(или меньше), K~K у знаменателя, полюсы и нули лежат на отрицатель ной вещественной noлуоси и чередуются, а ближайшим к началу коор
диНат является полюс, то двухполюсник состоит И3 сопротивлений и
емкостей. Простейшие схемы аналогичны первой ц второй канониче ским и первой и второй цепнь~м, в K01'QPblX индуктивности заменены
СОПРОТИВЛ'ениями. Схемы реализуются разложением на простейшие
дроби.
. 7-91. Предста~ляя передаточную, функцию в операторной форме
1()12 |
М(р} |
4· 10 3р2+ l()Зр+ 109 |
N (р)' |
замечаем, что М (р) - четный полином. Поэтому можно разложить знаменатель на четную и нечетную части и найти коэффициенты урав нений типа Z реализующей мостовой схемы.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛ. 8
8-3, 8-5 и 8-6. При расчете симметричных трехфазных линий в
ур-авнения длинной линии входят фазные напряжения и токи и пара-
метры, отнесенные к одной фазе. |
. |
.- |
8-7. При активной нагрузке, фазном |
напряжении и2 = 190,5 кВ |
|
и мощности Р2 = 300 МВт фазный ток |
12 = Р2/ЗU2 = |
525 А = 12', |
Напряжения прямой .и встречной волн в любой точке лцнии (при отсчете координаты х от конца):
. |
1·· |
. |
1·· |
UПР=2 (U2+/2ZB) еУХ; |
иВСТР =2 (U2- /2ZB) е-УХ. |
||
в частности, в конце линии |
|
|
|
|
U2пр= (U2+;2lB)/2= 199,2 L -2050' KB~ |
||
|
U2BCtp=(U2-i2Zв)/2= 13,1 |
L 131035' кВ. |
|
Б начале линии
U1ПР=U2прeVl=2J8 L 52010' кВ; U1BCtp=U2BCtpe-уl= 12,0 L 76035' кВ.
Коэффициент отражения
N =U2ВСТР/U2пр=О,066 L 134025'.
8-19. Заданный сигнал, если отбросить гармоники выше 3-й, записыва~тся. в виде (см. разложение в ряд прямоугольных импульсов):
и=~M+ ; Им( siп00lt+ ~ sin з0о1t)=
= 10+ 12,7 siп IJ>lt+4,25 siп З0о1t В.
ДЛЯ неискажающей линии
ZB='VLo/Co=2265 Ом; a=goZB=1,5~5 мНп/км~ ea.l=3,67
и не зависят от частоты.Поэтому постоянная составляющаЯ"-,l-я и 3-я гар-
моники затухают в одинаковое число раз (3,67). Сдвиг по фазе .в конце
линии для каждой гармоники пропорционален частоте: ~! ~ 00 'V LoCol.
Поэтому' сигнал в конце линии имеет ту же форму, что и в начале, и
запаздывает на t1 = l/v = 12,5 мс. " .
j 8-20. При заданных сопротивления~ ZK и Zx вторичные параметры
линии определяются по формулам
ZB=ZB L б='VZKZX= 750 L 00 Ом;
.·th (al+j~l)=YZK/ZX= т L t'=O,975 L -4030~.
где а - коэффициент затухания; ~ - коэффициент фазы; l - длина
линии. Второе возможное значение угла t' = 175030' не подходит, так
как при дальнейших расчетах приводит к отрицательному значению коэффициента'затухания.
Коэффициенты а и ~ можно найти по номограммам гиперболического
тангенса ил~ выразить через Т и t':
1 |
'1:: |
21!1 |
WeJ'D1. |