Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Ответ: 3 3 .

Задача 3.

Вычислить интеграл

x3 cos xdx.

Указание

Примените формулу интегрирования по частям.

Решение

Применим формулу интегрирования по частям:

u x3 , du 3x2dx; dv cos xdx, v sin x.

Тогда



x3 cos xdx x3 sin x		sin x 3x2dx.
0	0	0

Вновь применим к полученному интегралу формулу интегрирования по частям:

u x2 , du 2xdx; dv sin xdx, v cos x.

Получим



x3 cos xdx x3 sin x						3 sin x x2dx
0					0	0


x3 sin x		3
x3 sin x		3	x2 cos x						2		x cos xdx
	0							0		0
	0							0		0


0 3 2 6
0 3 2 6				x sin x						sin xdx
							0		0
							0		0


3 2 6 cos x	12 3 2 .

Ответ: 12 3 2 .

Задача 4.

Вычислить интеграл

e 1

ln(x 1)dx.

Указание

Примените формулу интегрирования по частям.

Решение

Применим формулу интегрирования по частям:

u ln(x 1),

; dv dx,

v x.

x 1

e 1

ln(x 1)dx x ln(x 1)

x 1

e 1

x 1 1

(e 1)ln e 0

x 1

e 1

x 1

e 1 x ln|x 1|

e 1

e 1 (e 1 1) 1.

Ответ: 1.

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y		1	u y	x2	.
	1	x2
			2

Указание

Постройте графики функций, ограничивающие фигуру, и найдите абсциссы точек их пересечения. Затем вычислите площадь фигуры по формуле

S f2 (x) f1(x) dx,

где f1(x) – функция, график которой является нижней границей фигуры, а f2(x)

– функция, задающая верхнюю границу.

Решение

у=х2/2

				у=1/(х2+1)
		-1	1	х
x2
x2	1	x4 x2	2 0, x2 1, x 1
2	1 x2	x4 x2	2 0, x2 1, x 1
2	1 x2

найдены пределы интегрирования.

1	1		x2		x3	1
S				dx arctgx
S	1 x	2	2	dx arctgx	6
1	1 x		2		6	1

	1		1		1	.
4	6	4	6	2	3

Ответ: 2 31 .

Задача 6.

Найти площадь фигуры, ограниченной линией = sin2 .

Указание

Определите возможные значения , при которых принимает положительные значения. Затем вычислите площадь в полярных координатах по формуле

S 1 2 2 ( )d . 2 1

Решение

Неравенство sin2 > 0 выполняется в пределах от 0 до 2 для

0		u	3 .
	2		2

Построим схематический график функции = sin2 :

Поскольку фигура состоит из двух одинаковых частей, можно вычислять площадь только одной из них:


			2			2		cos 4 d
S 2		1	sin2 2 d 1					cos 4 d
		2	0			0			2
			0			0
	1			1				1

							2
					sin 2							.
					sin 2							.
	2			4			0	2		2	4

Ответ: 4 .

Задача 7.

Найти длину линии

y x x2 arcsin x.

Указание

Найдите область определения заданной функции, а затем воспользуйтесь формулой

b
l		2
l	1 ( f (x)) dx.

Решение

Область определения заданной функции является решением системы неравенств

x x2		0	0	x 1.
	0 x	1

Найдем вид подынтегральной функции:

1 2x

2 2x

f (x)

x x2

1 x

2 x

2 x x2

(1 x)2

1 x

;

x(1 x)

1 x

x 1 x

1 f

(x) 1

;

1 f

(x)

Следовательно,

l x

2 dx 2

Ответ: 2.

Задача 8.

Найти длину линии

		2	2
		x3 y 3			1.
		Указание
Представьте линию в параметрическом виде:
x cos3 t,				0		t 2 .
				0		t 2 .
y sin3 t,
		Решение
Представим линию в параметрическом виде:
x cos3 t,				0		t 2 .
				0		t 2 .
y sin3 t,
Тогда
	2	t( sin t)				3 sin t cos	2	t,
x (t) 3 cos		t( sin t)				3 sin t cos		t,
					2	t cost,
y (t) 3 sin						t cost,

x 2 (t) y 2 (t) 9 sin2 t cos4 t 9 sin4 t cos2 t9 sin2 t cos2 t(cos2 t sin2 t) 9 sin2 t cos2 t, x 2 (t) y 2 (t) 3 sin t cost .

Обратите внимание на появление модуля: арифметический корень четной степени должен быть неотрицательным, а sin t и cos t в разных четвертях принимают значения разных знаков.

2 2

x3 y 3 1

Но, поскольку из формулы, задающей линию в декартовых координатах, видно, что кривая симметрична относительно каждой из координатных осей, можно найти длину ее части, расположенной в первой координатной четверти, где синус и косинус принимают неотрицательные значения, а затем умножить результат на 4:



	2	2
	2	2			2 6.
	l 4 3 sin t costdt 12	sin td sin t 6 sin2 t			2 6.
	0	0			0
					0
Ответ: 6.
Задача 9.
Найти объем тела, образованного вращением линии
	y x3	(0 x 3)
вокруг оси абсцисс.
	Указание
Воспользуйтесь формулой
		b
	v y2dx.
		a
	Решение
	3	x7		2187 .
	3		3
	V x6dx
	0	7	0	7
Ответ: 2187	.
7

Задача 10.

Вычислить площадь поверхности, образованной вращением кривой

y		(4 x 8)
	x 2

вокруг оси абсцисс.

Указание

Примените формулу

S 2 f (x)1 f 2(x)dx.

Решение

Определим вид подынтегральной функции:

		1						2			1										4x 7
f (x)					; 1 f				(x)		1											;
	2														4(x 2)						4(x 2)
	2	x 2													4(x 2)						4(x 2)

												4x 7						1
				2
f (x) 1 f				2	(x)		x 2													4x 7.
										2
										2			x 2					2
				1	8			1				2							3		8
					8			1											3		8
S 2					(4x 7)2 dx											(4x 7)2
S 2			2		(4x 7)2 dx											(4x 7)2
			2		4						3 4										4
						125 27								49			.
						125 27											.
					6						3

Ответ: 493 .

1.2.4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Теорема сравнения для интегралов от неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признак абсолютной сходимости. Несобственные интегралы от неограниченных функций, исследование их сходимости

Расширим понятие определенного интеграла на случай неограниченной области. Такую область можно получить, либо приняв какой-либо из пределов интегрирования равным бесконечности, либо рассматривая график функции с бесконечными разрывами (то есть неограниченной). Рассмотрим отдельно каждый из указанных случаев.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несобственные интегралы 1-го рода)

Пусть функция f(x) определена и непрерывна при х > а. Тогда интеграл

f (x)dx

имеет смысл при любом b > a и является непрерывной функцией аргумента b.

Если существует конечный предел

lim f (x)dx,

b a

то его называют несобственным интегралом 1-го рода от функции f(x) на


интервале [a, ) и обозначают			f (x)dx. Таким образом, по определению
			a
				b
		f (x)dx lim		f (x)dx. (1)
	a		b a

При этом говорят, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же не существует конечного предела (1), несобственный интеграл не существует или расходится.

Геометрической интерпретацией несобственного интеграла 1-го рода является площадь неограниченной области, расположенной между графиком функции y=f(x) , прямой х = а и осью Ох (рис. 1).

у
	y=f(x)
а	b	х
		х

Рис. 1 Замечание. Аналогичным образом можно определить и несобственные

интегралы 1-го рода для других бесконечных интервалов:

b		b
	f (x)dx lim	f (x)dx,
	a a
	c

f (x)dx f (x)dx f (x)dx.

В частности, последний интеграл существует только в том случае, если сходятся оба интеграла, стоящие в правой части равенства.

Часто достаточно бывает только установить сходимость или расходимость несобственного интеграла и оценить его значение.

Лемма.

Если f (x) 0 на интервале [a, ), то для сходимости интеграла

f (x)dx

необходимо и достаточно, чтобы множество всех интегралов

b
f (x)dx	(b a)
a

Для всех значений b было ограничено сверху, то есть чтобы существовала такая постоянная c > 0, чтобы b [a, ) выполнялось неравенство

f (x)dx c.

Доказательство. Рассмотрим функцию

g(b) f (x)dx

и покажем, что в условиях леммы она монотонно возрастает на [a, ). Действительно, при a b b1

b1	b	b1
g(b1 ) f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a	a	b
b
f (x)dx g(b),
a
так как при
	b1
f (x) 0	f (x)dx 0.

Следовательно, функция g(b) монотонно возрастает и ограничена сверху, поэтому, как известно, она имеет конечный предел при x , что по определению означает существование интеграла


f (x)dx.
a
Теорема 1 (признак сравнения). Пусть
0 (x) f (x) npu	x [a, ).

Тогда:

1)если интеграл

f (x)dx

сходится, то сходится и интеграл

(x)dx;

2) если интеграл

(x)dx

расходится, то расходится и интеграл

f (x)dx.

Доказательство.

Из условия теоремы следует, что

b	b
(x)dx f (x)dx		b [a, ).
a	a

Поэтому, если интегралы

f (x)dx

ограничены сверху (по лемме), то сверху ограничены и интегралы

(x)dx,

следовательно,

(x)dx

сходится (по той же лемме). Если же интеграл

(x)dx

расходится, то, если бы интеграл

f (x)dx

сходился, то по ранее доказанному и интеграл

(x)dx

должен был бы сходиться, что противоречит сделанному предположению. Значит, в этом случае

f (x)dx

расходится. Теорема полностью доказана. Из нее можно вывести такое

Следствие. Пусть

f (x) 0, (x) 0

на [a, ),

(x) 0 x [a, ),

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 169 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.09.201967.58 Кб1инновационный 36-40.doc
#
26.11.20195.11 Mб2инсектициды и акорициды.doc
#
11.02.201544.36 Кб16Институциональная экономика.docx
#
20.08.2019248.08 Кб1инструкции.rtf
#
20.09.2019157.7 Кб2Инструкция по практике.doc
#
25.03.20161.87 Mб7Интегральное исчисление.pdf
#
11.02.201554.59 Кб8Интернет.docx
#
11.02.2015117.25 Кб29Инфекция мочевыводящих путей.doc
#
11.02.201581.92 Кб49Инфекция.doc
#
11.02.201559.39 Кб19Инфекция1.doc
#
21.09.2019119.3 Кб5информатика 8-22.doc