Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Мордовский государственный университет им. Н. П. Огарёва

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интегральное исчисление

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.03.2016

Размер:

1.87 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Пример 2.

							cos2 x						dx				cos2 x						sin xdx
							sin		3		x		dx				sin		4		x		sin xdx
							sin				x						sin				x
					cos2 x									d cos x													t2				dt
			(1 cos					2		x)		2		d cos x													2			2	dt
			(1 cos							x)												(1 t) (1 t)
			1				1								1					1						1
			1				1								1					1						1			dt
		4				1 t									2			1		t								2	dt
		4				1 t						(1 t)						1		t					(1 t)
1				ln\|1 t\|												1	ln\|1 t\|											1		C

																t
4															1	t											1	t
	1						1									1				ln				1 cos x						C.

	4														1	cos x								1
	4			1 cos x											1	cos x								1		cos x

б) если т и п – четные положительные числа, можно понизить степени тригонометрических функций с помощью формул

sin2	1 cos 2	,	cos2	1 cos 2 .
	2			2

Пример 3.

sin	8		1 cos 2x	4
sin		xdx		dx
			2

161 1 4 cos 2x 6 cos2 2x 4 cos3 2x cos4 2x dx

16x 81 sin 2x 163 x 643 sin 4x 81 sin 2x

482 sin3 2x 641 (1 2 cos 4x cos2 4x)dx

1764 x 41 sin 2x 241 sin3 2x 1287 sin 4x 1281 (1 cos 8x)dx

35	x	1	sin 2x	1	sin2 2x	7	sin 4x	1	sin 8x C.
128		4		24		128		1024

в) если т и п – четные и хотя бы одно из них отрицательно, можно применить замену t = tg x или t = ctg x

Пример 4.

sin2 x

cos

x cos

tg2 x(1 tg2 x)2 dtgx (t2

2t4

t6 )dt

2t5

1 tg3 x

2 tg5 x

tg7 x C.

3.Интегралы вида

R(sin x, cos x)dx,

где R – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

		t tg			x	,
		t tg				,
				2
тогда
sin x		2t	,	cos x				1 t2		,
sin x	1	t2	,	cos x				1 t2		,
	1	t2						1 t2
x 2arctgt,				dx			2dt		,
x 2arctgt,				dx			1 t2		,
							1 t2

то есть все составляющие подынтегрального выражения представляют собой рациональные функции от t.

Пример 5.

			1		dx 2					dt

	1	sin x					1		2t			t		2
											(1				)
									t2		(1				)
								1	t2
2				dt		2	C				2		C.
2			(1		2	1 t	C					x	C.
			(1	t)		1 t				1 tg		x
										1 tg		2

Если подынтегральная функция имеет вид R (sin²x, cos²x), можно выбрать замену t = tg x. При этом

sin2 x		t2	,	cos2 x				1	,
	1	t2					1	t2

x arctgt,				dx		dt		,
					1	t2

и степень полученной рациональной функции будет ниже, чем при универсальной тригонометрической подстановке, что облегчает дальнейшее интегрирование.

Пример 6.

			1			dx					1						dt

	sin2 x 4 cos2 x								t2						4		1 t2
									1 t2					1 t2
				1			1		1		1
					dt											dt
			t2	4	dt		4			2		t				dt
			t2	4			4	t		2		t			2
1		ln\|t 2\| ln\|t 2\| C										1				tgx		2	C.
1												1	ln			tgx		2
4											4		ln			tgx		2
4											4					tgx		2

Интегрирование квадратичных иррациональностей

При вычислении интегралов

R(x,			R(x,
	a2 x2 )dx,			x2 a2 )dx

свести подынтегральную функцию к рациональной помогают замены:

x a sin t,

при этом

a2 x2

a2 sin2 t a cost;

dx a costdt,

t arcsin

x atgt,

б)

тогда

x2 a2 a2 (1 tg2t)

;

cost

adt

t arctg x .

cos2 t

в)

sin t

соответственно

a2 (1 sin

2 t)

a cost

;

sin2 t

sin t

dx a costdt ,

t arcsin

sin2 t

Пример 7.

Вычислим интеграл

x2 4 x2 dx.

Пусть

x 2 sin t,

тогда

x2 4 x2 dx 4 sin2 t 2 cost 2 costdt

4 sin2 2tdt 2 (1 cos 4t)dt 2t 21 sin 4t C

2 arcsin 2x 21 sin(4 arcsin 2x) C.

Заметим, что

sin 4t 2 sin 2t cos 2t 4 sin t cost cos 2t


4 sin t				1 sin2 t(1 2 sin2 t)

2x	1	x2	(1		x2	)		x(2 x2 )	4 x2
										.
		4			2		2			.
		4			2		2

Поэтому ответ можно представить в виде:

x2		dx 2 arcsin		x		x(2 x2 )	4 x2
	4 x2			x		x(2 x2 )	4 x2	C.
	4 x2							C.
	2				4
Пример 8.
Для вычисления интеграла

			x2 9		dx
		x2			dx
		x2

выберем замену x = 3tg t. При этом

x2 9

3dt

cost

t cos

9tg

d sin t

cost sin

sin

t(1 sin

(1 u)(1 u)

где u = sin t . Представив подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей, получим:

(1 u)(1 u)

2(1 u)

1 ln

1 u

sin1 t 21 ln 11 sinsin tt C

9 x2 1 ln 9 x2 x C.

x2 x2 x9

(Учитываем, что

sin t

tgt

1 tg2t

9 x2

Пример 9.

Вычислим интеграл

x2 x2

с помощью замены

sin t

Тогда

sin2 t sin t ( cost)dt

sin tdt

cost

sin

x2 x2

cost C cos(arcsin

)

x2 1

Интегрируемость в элементарных функциях

В предыдущих лекциях рассмотрены методы интегрирования некоторых элементарных функций. Однако далеко не все элементарные функции интегрируемы, то есть имеют первообразные, также являющиеся элементарными функциями. В качестве примеров можно привести функции

e x2 , sin x2 ,	sin x	,	1
	x		ln x

и другие. Этим операция интегрирования отличается от дифференцирования, при котором производная любой элементарной функции является тоже элементарной функцией. Для отыскания интегралов от функций, не имеющих элементарной первообразной, вводятся и используются новые классы функций, не являющихся элементарными.

Примеры решения задач

Задача 1.

Вычислить интеграл

sin 5x cos 2xdx.

Указание

Преобразуйте подынтегральное выражение, воспользовавшись формулой sin cos 21 sin( ) sin( ) .

Решение

			sin 5x cos 2xdx					1	sin 7x sin 3x dx
								2
		1	1	cos 7x		1		C		1	cos 7x	1	cos 3x C.
							cos 3x
							cos 3x
		2	7			3				14		6
Ответ:	1	cos7x			1 cos 3x C.
Ответ:	14	cos7x			1 cos 3x C.
	14				6

Задача 2.

Вычислить интеграл

sin6 x sin 2xdx.

Указание

Воспользуйтесь формулой

sin 2x 2sin x cos x

и сделайте замену t = sin x.

Решение

		sin6	x sin 2xdx 2 sin7 x cos xdx
	2 sin7 xd sin x 2 sin8 x C sin8 x C.
				8	4
Ответ: sin8 x C.
	4
Задача 3.
Вычислить интеграл
			sin4 x cos2 xdx.
			Указание
Понизьте	степень	тригонометрических			функций,	входящих	в
подынтегральное выражение, с помощью формул
	sin2		1 cos 2 ,	cos2	1 cos 2
			2		2

u sin 2 2 sin cos .

Решение

	sin4 x cos2 xdx		1	4 sin2 x cos2		x sin2 xdx
			4

1	sin2 2x	1 cos 2xdx	1	sin2 2xdx	1	sin2 2x cos 2xdx
4			8		8
		2

1 cos 4x dx

sin2 2xd sin 2x

sin 4x

sin3 2x C.

Ответ:

sin 4x

sin3

2x C.

Задача 4.

Вычислить интеграл

ctg6 xdx.

Указание

Сделайте замену t = ctg x.

Решение

xdx

x cos

ctg

sin2

ctg

t ctgx

ctg x

dctgx

ctg

(t6 1) 1

dt t

t arcctgt C

ctg3 x

ctg5 x

ctgx x C.

Ответ:

ctg3 x

ctg5x

ctgx x C.

Задача 5.

Вычислить интеграл

4 x2 dx. x

Указание

Сделайте замену x = 2sin t.

Решение

x 2 sin t

4 x2

4 4 sin2 t 2 cost,

dx 2 costdt;

4 x2

2 cost 2 costdt

2 cos2 t

2 sin t

sin

sin tdt

2 cos2 t

u cost

2u2du

d cost

1 cos

2u ln

u 1

Сделаем обратную замену, учитывая, что

1 x2

sin t

u cost

1 sin2 t

u 1

4 x2 2

2u ln

C 4 x2 ln

u 1

4 x2 2

4 x2

Ответ: 4 x

4 x2

Задача 6.

Вычислить интеграл

dx.

x2 9

Указание

Сделайте замену x = 3tgt.

Решение

4 x2 : 2

														3						3dt
x 3tgt x2				9 3				tg2t 1						3		,			dx	3dt	.
x 3tgt x2				9 3				tg2t 1					cost			,			dx	cos2 t	.
													cost							cos2 t
		x2			dx				9tg2t cost						3dt
										3					cos			2	t
																		2
	x2 9
9			sin2 t costdt							9	sin2 td sin t
9				cos		4	t			9	(1	sin				2	t)		2
				cos			t				(1	sin					t)

	9					1						1							1				1
	9					1						1							1				1		d sin t
					sin t)2											(1 sin t)2									d sin t
	4		(1		sin t)2					1 sin t						(1 sin t)2							1 sin t
						9								9					9 ln		1 sin t			C
						9								9							1 sin t
				4(1 sin t)								4(1	sin t)								1 sin t
				4(1 sin t)								4(1	sin t)						4		1 sin t
							9 sin t							9 ln			1			tgt		C
							9 sin t										1
																	cost
							2 cos2 t						2				cost

														9				x2 9 x
						x x			2		9			9	ln			x2 9 x					C.
						x x					9			2	ln					3			C.
														2						3


					9		x2 9 x
Ответ: x x	2	9			9	ln	x2 9 x							C.
Ответ: x x		9			2	ln		3						C.
					2			3

1.2. Определенный интеграл1

1.2.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, его свойства. Теорема о среднем для определенного интеграла

Для решения многих задач из различных областей науки и техники требуется применение определенного интеграла. К ним относятся вычисление площадей, длин дуг, объемов, работы, скорости, пути, моментов инерции и т.д. Определим это понятие.

Рассмотрим отрезок [a, b] оси Ох и определим понятие разбиения этого отрезка как множества точек xi : a=x1 < x2 <…< xn-1 < xn=b. При этом точки xi

называются точками разбиения, отрезки [xi-1, xi] – отрезками разбиения (их длины обозначаются xi), а число

| τ | = max ( x1, x2,…, xn )

называется мелкостью разбиения.

	y = f(x)
х0=a	хn=b	х

Пусть на [a,b] задана функция y = f(x). Выберем на каждом отрезке разбиения по точке i и составим сумму вида

f ( i ) xi ,

i 1

называемую интегральной суммой функции f(x). Если f(x) > 0, такая сумма равна сумме площадей прямоугольников с основаниями xi и высотами f( i ). Если для любого разбиения отрезка [a, b] и любого выбора чисел i

существует один и тот же конечный предел интегральных сумм при n u | | 0 :

lim f ( i ) xi I,

|| 0 i 1

то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a, b ], а число I называется определенным интегралом f(x) на [a, b] и обозначается

I f (x)dx.

Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

Кроме того, определение определенного интеграла дополняется следующими утверждениями:

a	a	b
1) f (x)dx 0,	2) f (x)dx f (x)dx.
a	b	a

Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости). Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем. Доказательство.

Пусть f (x) интегрируема на [a,b] и

f (x)dx I.

Зафиксируем какое-либо , например, = 1. По определению интегрируемой функции существует такое > 0, что для любой интегральной суммы , соответствующей разбиению, для которого | | < , верно неравенство | – I | < 1, откуда I – 1 < < I + 1, то есть множество интегральных сумм функции f (x) ограничено.

Если предположить при этом, что f (x) не ограничена на [a,b], то она не ограничена по крайней мере на одном из отрезков разбиения. Тогда соответствующее произведение f ( i) xi на этом отрезке может принимать сколь угодно большие значения. Если мы зафиксируем слангаемые, соответствующие остальным участкам разбиения, то получим, что интегральные суммы оказываются неограниченной и потому не имеют предела, что противоречит условию интегрируемости f (x).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.09.201967.58 Кб1инновационный 36-40.doc
#
26.11.20195.11 Mб2инсектициды и акорициды.doc
#
11.02.201544.36 Кб16Институциональная экономика.docx
#
20.08.2019248.08 Кб1инструкции.rtf
#
20.09.2019157.7 Кб3Инструкция по практике.doc
#
25.03.20161.87 Mб7Интегральное исчисление.pdf
#
11.02.201554.59 Кб8Интернет.docx
#
11.02.2015117.25 Кб29Инфекция мочевыводящих путей.doc
#
11.02.201581.92 Кб49Инфекция.doc
#
11.02.201559.39 Кб19Инфекция1.doc
#
21.09.2019119.3 Кб6информатика 8-22.doc