Интегральное исчисление

в котором коэффициенты ai постоянны. Можно показать, что они имеют вид y ekx , где k – постоянная. Действительно, при этом

y( p) kpekx ,

и после подстановки в уравнение (1) получаем:

a0knekx a1kn 1ekx ... anekx 0,

или, после сокращения на ekx,

Получаем алгебраическое уравнение, называемое характеристическим уравнением для дифференциального уравнения (1). Числа k, являющиеся его

решениями, при подстановке в функцию y ekx дают частные решения

уравнения (1). Исследуем различные возможности количества и вида решений характеристического уравнения.

1. Все корни уравнения (2) действительны и различны: k1, k2,…, kn . Тогда они задают максимально возможное количество линейно независимых решений уравнения (1) (их линейная независимость показана в примере 2 предыдущей лекции), то есть определяют фундаментальную систему решений. Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (1) может быть записано в виде:

y c1ek1x c2ek2x ... cneknx .

Пример 1.

Общее решение уравнения

y(5) 5y 4y 0

можно найти, решив характеристическое уравнение k5 5k3 4k 0.

Разложим левую часть на множители:

k(k2 4)(k2 1) 0.

Следовательно, корни характеристического уравнения:

Поэтому общее решение исходного уравнения имеет вид:

yc1 c2e 2x c3e2x c4e x c5ex .

2.Корни уравнения (2) различны, среди них есть комплексные. При этом,

как было показано ранее, они образуют пары комплексно сопряженных чисел. При этом решения уравнения (1), соответствующие паре комплексно сопряженных решений уравнения (2)

131

имогут быть заменены двумя действительными решениями: действительной

имнимой частями указанных решений. Следовательно, так как

e( i)x e x (cos x i sin x),

решениями уравнения (1) будут

Пример 2.

ye3x (c1 cos x c2 sin x).

3.Характеристическое уравнение имеет кратные корни. В этом случае

число линейно независимых решений предыдущих типов меньше п, и для получения фундаментальной системы нужно найти дополнительные решения иного вида. Докажем, что при наличии у характеристического уравнения корня ki кратности i такими решениями будут

xekix , x2ekix ,..., x i 1ekix .

Предположим вначале, что выбранный кратный корень ki = 0. Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

a0kn a1kn 1 ... an i k i 0,

а соответствующее дифференциальное уравнение:

a0y(n) a1y(n 1) ... an i y( i ) 0. .

Очевидно, что частными решениями такого уравнения будут функции

1, x, x2 ,K , x i 1 ,

все производные которых порядка i и выше равны нулю. Кстати, линейная независимость такой системы функций показана в примере 1 предыдущей лекции.

Пусть теперь корень характеристического уравнения ki кратности i не равен нулю. Сделаем замену переменной: y ekix z, тогда при подстановке в

дифференциальное уравнение его линейность и однородность не нарушается, а коэффициенты изменяются, но по-прежнему остаются постоянными:

b0z(n) b1z(n 1) ... bnz 0.

При этом корни характеристического уравнения

отличаются от корней уравнения

132

a0kn a1kn 1 ... an 1k an 0

на слагаемое –ki, так как при

z epx y ekixz e(ki p)x ,

то есть k = ki + p. Следовательно, уравнение (3) имеет корень р = 0 кратностиi , которому соответствуют линейно независимые частные решения

z 1, z x,..., z x i 1.

При обратной замене получаем набор линейно независимых решений исходного уравнения:

y ekix , y xekix ,..., y x i 1ekix . (4)

Таким образом, каждый кратный корень уравнения (2) задает серию линейно независимых частных решений уравнения (1), количество которых равно его кратности. Следовательно, вновь построена фундаментальная система решений.

Замечание. Кратные комплексно сопряженные корни задают частные решения вида

Пример 3.

Характеристическое уравнение для уравнения y 3y 3y y 0

имеет вид (k + 1)³ =0, то есть k = -1 – корень кратности 3. Следовательно, фундаментальная система решений состоит из функций

e x , xe x , x2e x ,

а общее решение можно записать в виде

y (c1 c2 x c3x2 )e x .

Пример 4.

Для уравнения

y( 4) 8y 16y 0

характеристическим уравнением является

k4 8k2 16 0,

то есть (k²+4)²= 0. Следовательно,

корни кратности 2. Тогда общим решением исходного дифференциального уравнения является

y (c1 c2 x)cos2x (c3 c4x)sin 2x.

133

Линейные неоднородные уравнения

Ранее было показано, что сумма решений линейного неоднородного уравнения L[y] = f(x) и соответствующего однородного уравнения L[y] = 0 является решением неоднородного уравнения. Используя это свойство, можно доказать следующую теорему:

Теорема 1. Общее решение на отрезке [a,b] уравнения L[y] = f(x) с непрерывными на [a,b] коэффициентами pi(x) и правой частью f(x) равно

n

сумме общего решения ci yi соответствующего однородного уравнения и

i 1

какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Доказательство.

Требуется доказать, что для любых начальных условий

можно подобрать такие значения постоянных ci, чтобы функция

n

y ci yi y%, (5)

i 1

где yi – линейно независимые частные решения однородного уравнения L[y] = 0, а y%- частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения, была

решением этого неоднородного уравнения с заданными начальными условиями. Это требование приводит нас к системе уравнений относительно неизвестных с1, с2,…, сп:

W[y1 , y2 ,..., yn ], как уже известно, не равный нулю. Поэтому система (6)

имеет единственное решение, что и доказывает утверждение теоремы. Замечание. Таким образом, при найденном общем решении однородного уравнения решение неоднородного уравнения сводится к подбору его частного решения.

Методы нахождения частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

134

Метод вариации произвольных постоянных

Распространим метод вариации произвольных постоянных, рассмотренный ранее для решения линейного уравнения первого порядка, на линейные уравнения высших порядков. Будем искать решение неоднородного уравнения в виде

n

y ci (x)yi .

i 1

При этом требуется найти п неизвестных функций с1(х), с2(х),…, сп(х), которые удовлетворяли бы только одному уравнению

y(n) p1(x)y(n 1) ... pn(x)y f (x). (7)

Поэтому можно дополнительно потребовать, чтобы искомые функции удовлетворяли еще каким-нибудь п-1 уравнениям, выбранным так, чтобы производные функции

n

y ci (x)yi

i 1

имели по возможности такой же вид, как при постоянных ci. Первая производная решения имеет вид:

Потребуем, чтобы вторая сумма в этом выражении равнялась нулю:

n

ci (x)yi (x) 0,

i 1

тогда

n

y ci (x)yi (x).

i 1

Зададим такое же условие для второй производной:

Продолжая вычислять производные функции

n

y ci (x)yi

i 1

до порядка п – 1 включительно и требуя каждый раз, чтобы

n

ci (x)yi(k )(x) 0,

i 1

получим:

135

(в последнем равенстве уже нельзя потребовать, чтобы вторая сумма равнялась нулю, так как на искомые функции уже наложено п – 1 условие, а последним требованием является то, что эти функции должны удовлетворять уравнению (7)). Подставив

но yi – частные решения однородного уравнения, следовательно, все слагаемые второй суммы равны нулю и уравнение сводится к следующему:

n

ci y(i n 1) f (x). (9)

i 1

Добавив его к первым п – 1 уравнениям системы (8), получим систему из п уравнений для определения с1’, с2’,…, сп’, определитель которой является определителем Вронского для функций у1, у2,…, уп и, следовательно, не равен нулю. Следовательно, из этой системы можно единственным образом найти производные искомых функций, а затем с помощью интегрирования и сами функции с1, с2,…, сп.

Пример 5.

y 2y y ex . x

Найдем решение однородного уравнения, для чего составим характеристическое уравнение k² - 2k + 1 = 0, k1 = k2 =1. Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид у = (с1 + c2 x)ех, то есть фундаментальную систему решений составляют функции у1 = ех и у2 = хех. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде у = с1(х)ех + с2(х)хех. Составим систему (8):

136

где С1 и С2 – произвольные постоянные. Таким образом, найдено общее решение исходного уравнения: у = ех(хln|x| - x + C1x + C2).

Подбор частного решения для неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

Для некоторых видов правой части линейного неоднородного дифференциального уравнения

a0y(n) a1y(n 1) ... an 1y any f (x) (10)

можно подобрать частное решение в виде функции с неопределенными коэффициентами, которые определяются путем подстановки этой функции в уравнение (10).

При этом существует частное решение уравнения (10), имеющее такой же вид:

y B0xs B1xs 1 K Bs .

Действительно, подставив эту функцию в уравнение (10) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим разрешимую единственным образом систему линейных уравнений:

137

и после подстановки в уравнение получим: 3А + 2Ах + 2В = 3х – 5. Тогда 2А

= 3, 3А + 2В = = -5. Следовательно,

A 23 , B 194 ,

и общее решение уравнения можно записать в виде: y c1e x c2e 2 x 23 x 194 .

2. Если

(то есть k = 0 является – кратным корнем характеристического уравнения), то частное решение имеет вид:

y x (B0xs B1xs 1 ... Bs ).

Легко убедиться, что функция подобного вида является решением уравнения (10) при поставленных условиях.

Пример 7.

y 3y 2x2 5.

Пусть

участн х2 (Ах2 Вх С) Ах4 Вх3 Сх2 , у 4Ах3 3Вх2 2Сх, у 12Ах2 6Вх 2С,

у 24Ах 6В.

Подставляя в уравнение, получим:

24Ах 6В 36Ах2 18Вх 6С 2х2 5,

откуда –36А = 2, 24А – 18В = 0, 6В – 6С = 5. Решая эту систему, получаем

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид:

yc1 c2 x c3e3x 181 x4 272 x3 5449 x2 .

3.f (x) epx(A0xs A1xs 1 ... As ).

Если число р при этом не является корнем характеристического уравнения, можно задать частное решение в виде:

y epx (B0xs B1xs 1 ... Bs ).

Если же р – корень характеристического уравнения кратности , частное решение имеет вид:

138

Пример 10.

y( 4) 2y у x cos x. .

При этом + i - корни характеристического уравнения кратности 2, поэтому следует искать частное решение в виде:

yx2((Ax B)cos x (Cx D)sin x).

5.Если правая часть уравнения (7) представляет собой сумму функций, рассмотренных в предыдущих пунктах, то по принципу суперпозиции частное решение будет задаваться как сумма решений, соответствующих каждому из слагаемых правой части.

Пример 11.

Для уравнения

y 4y y 4 x3ex sin x

частное решение ищем в виде:

y (Ax3 Bx2 Cx D)ex x(E cos x F sin x).

Примеры решения задач

Задача 1.

Найти общее решение уравнения

y 5y 6y 0.

Указание

Составьте и решите характеристическое уравнение.

Корни характеристического уравнения действительны и различны, поэтому общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y C1e x C2e6x .

Ответ: y C1e x C2e6x .

Задача 2.

Найти общее решение уравнения

y( 5) y 0.

Указание

140