Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет Систем Управления и Радиоэлектроники

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1224-osn_electrodinam_zadachi

.pdf

Скачиваний:

973

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

3.53 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

3.2.5 В некоторой точке пространства заданы комплексные амплитуды
		j600
векторов поля:				;		10	3		. Найти мгновенные значения
	E 35e		x0		H j4			y0

векторов поля, а также среднее значение вектора Пойнтинга.

Решение.

Мгновенные значения связаны с комплексными амплитудами форму-

лами:

E r,t

Re E r e

j t

H r,t

Re H r

j t

откуда:

В/м,

E r,t 35cos t 600 x

А/м.

H r,t 4

10 3 sin t y

Для полей, гармонически изменяющихся во времени:

Пср

Re E

6.062 10

Вт/м

Ответ: мгновенные значения векторов равны для напряжённости элек-

трического поля

В/м, для напряжённости магнит-

E r,t 35cos t

600 x

ного поля

А/м,

а среднее значение вектора Пойн-

H r,t 4 10 3 sin t y

равно

6.062

Вт/м2.

тинга П

ср

10 2 z

3.2.6 Покажите, что векторное поле

H , изменяющееся во времени и в

пространстве по

закону

не может быть по-

6x cos t x

2e 2 y sin t x

лем магнитного вектора, который удовлетворяет уравнениям Максвелла.

Решение.

Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

0 .

divB

Учитывая, что

B a H получим:

divH

Для нашего же случая

6 cos t 0 , то есть заданное век-

divH

	x	dx


торное поле H не может быть полем магнитного вектора, так как не удовле-
творяет четвёртому уравнению Максвелла в дифференциальной форме.

Ответ: заданное векторное поле H не может быть полем магнитного

вектора, так как не удовлетворяет четвёртому уравнению Максвелла в дифференциальной форме.

3.2.7 Покажите, что из четвертого уравнения Максвелла divB 0 в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция про-

странственных координат, вытекает следующее уравнение относительно век-

grad

тора напряженности магнитного поля:

divH

1 H

Решение.

Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

0 ;

divB

H ;

div a H 0.

Используем векторное тождество:

div a H Hgrad a adivH .

Подставим в это тождество div a H 0 и получим искомое выраже-

ние:

grad

divH

Ответ: из четвертого уравнения

Максвелла

divB 0

тождества

div

H Hgrad

divH следует, что

divH

1 H grad

3.2.8 Известно, что некоторый электромагнитный процесс характеризуется тем, что все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z. Используя уравнения Максвелла, покажите, что при этом продольные проекции Еz и Нz векторов электромагнитного поля будут отсутствовать.

Решение.

Запишем первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат:

rotH

H x

H y

H z

H y			H x
	y	0

z				z

H z			H y
	z	0

x				x

H
H	x	dD
	x		.
			.
y		dt
y		dt

Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z, то:

H y

H x

rotH x

Из последнего выражения видно,

что продольные проекции rotHz 0

Dz = 0. В этом случае Ez

0 , то есть отсутствует продольная проекция

Еz.

Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат:


	x0		y0	z0

rotE
rotE	x		y	z
	x		y	z
	Ex	Ey		Ez

Ex0 yz

E
E	x	dB
	x		.
			.
y		dt
y		dt

Так как все декартовы составляющие полей зависят лишь от координаты z, то:

Вz

rotE x

Из последнего выражения видно, что продольные проекции

rotEz 0

= 0. В этом случае H

0, то есть отсутствует продольная проекция

Нz.

Ответ: продольные проекции Еz

и Нz векторов электромагнитного поля

отсутствуют, то есть Еz = 0 и Нz = 0.

3.2.9 Комплексная амплитуда вектора напряженности электрического

j0.16

105e

j1.2

36e

j 2.3

поля E 28e

z0 (углы даны в радианах). Частота

колебаний f = 2МГц. Найдите мгновенное значение вектора

в момент вре-

мени 0.1 мкс.

Решение.

Запишем выражение для круговой частоты:

= 2f = 2∙2∙106 = 4∙106 рад/с.

Запишем выражение зависимости вектора

от времени:

j t

28cos 4 10

E t Re E e

0.16 x0 105cos 4 10

t 1.2 y0

36 cos 4 106 t 2.3 z

Из последнего выражения найдём мгновенное значение вектора E в

момент времени t = 0.1 мкс = 10 7 c:

E t 10 7

4.3x

104.83y

32.9z

Ответ: мгновенное значение вектора E в момент времени 0.1 мкс равно

E t 10 7 4.3x

104.83y

32.9z

3.2.10

Покажите, что

электромагнитное

поле с

компонентами

Ех = Еу = 0, By = Bz = 0, Ez = cos(y ct), Bx = cos(y ct) при определённом значе-

нии постоянной с удовлетворяет уравнениям Максвелла и определите это значение постоянной с.

Решение.

Запишем второе уравнение Максвелла в дифференциальной форме в декартовой системе координат при Ех = Еу = 0:

rotE

Так как Ez = cos(y ct) не зависит от х,

0 и второе уравнение

то

Максвелла примет вид:

Вычислим левую часть полученного уравнения Максвелла:

cos y ct

sin y ct ,

а затем правую часть этого уравнения:

cos y ct

sin y ct .

Заданное по условию задачи поле удовлетворяет второму уравнению Максвелла, если равны правые части двух последних выражений, то есть при значении постоянной с равном единице (с = 1).

	Запишем четвёртое уравнение Максвелла в дифференциальной форме
		в декартовой системе координат при By = Bz = 0 и Bx = cos(y ct):
divB 0
		divB Bx cos y ct 0,

		x	x

то есть заданное по условию задачи поле удовлетворяет четвёртому уравнению Максвелла.

Ответ: заданное по условию задачи поле удовлетворяет уравнениям Максвелла при значении постоянной с равном единице (с = 1).

3.2.11 В некоторой точке пространства вектор напряженности электри-
	В/м, в то время как вектор Пойнтинга
ческого поля E 20y0	В/м, в то время как вектор Пойнтинга	П 10x0	30z0

Вт/м2. Определить вектор напряженности магнитного поля H .
Решение.

Запишем выражение для вектора Пойнтинга П для случая, когда век-

тор напряженности электрического поля E 20y0 :

				74


		x0	y0	z0
								2
П E H		0	20 0		20H z x0		20H x z0	Вт/м .
		H x	H y	H z
С другой стороны, по условию задачи:
						2
		П	10x0	30z0 Вт/м .
Приравняем между собой правые части двух последних выражений для

вектора Пойнтинга П :
	П 10x0		30z0 20Hz x0			20Hx z0

и проекции на оси координат этого вектора:


10 x0	20 H z x0 и	30 z0	20 H x z0 .
Из двух последних выражений получим искомые значения проекций
вектора напряженности магнитного поля:

0.5 А/м

1.5 А/м

и формулу для вектора напряженности магнитного поля:

H 1.5x0

0.5z0

А/м.

Ответ: выражение для вектора напряженности магнитного поля имеет

вид H 1.5x0 0.5z0 А/м.

3.2.12 В фиксированной точке пространства известны мгновенные зна-

cos t , где

чения векторов поля E E cos t

, H H

E и

постоянные векторы. Найти среднее

значение ПСР и

колеблющуюся

часть

вектора Пойнтинга.

ПКОЛ

Решение.

Запишем выражения для среднего значения ПСР

и колеблющейся части

вектора Пойнтинга

в общем виде:

ПКОЛ

ПСР

Re E

ПКОЛ

Re E

H exp j2 t .

Для условий, приведённых в задаче, в этих выражениях:

E0 exp j 1 ,

H0 exp j 2 ,

H0 exp j 2

Запишем выражения для среднего значения ПСР

и колеблющейся части

ПКОЛ

вектора Пойнтинга П для условий, приведённых в задаче:

П		1 Re E				exp j H					exp j								1 Re E					H			exp j

	ср				0		1			0					2								0			0		1	2
	ср	2			0		1			0					2		2						0			0		1	2
		2															2
			1														1
						E0 H0			cos 1 2						z0						E0	H0 cos 1						2
				2		E0 H0			cos 1 2						z0				2		E0	H0 cos 1						2
и			П				1 Re E				exp j			H				exp j exp j2 t
			П				1 Re E				exp j			H				exp j exp j2 t

					КОЛ					0		1				0						2
					КОЛ		2			0		1				0						2
							2
		1															1
			E0 H0				cos 2 t 1 2								z0					E0		H0 cos 2 t 1							2 .
		2	E0 H0				cos 2 t 1 2								z0		2			E0		H0 cos 2 t 1							2 .

	При этом				z0 E и				z0 H .
	Ответ: среднее значение вектора Пойнтинга:
												1	E0	H 0 cos 1 2 ;
								ПСР z0
								ПСР z0				2
колеблющаяся часть вектора Пойнтинга:
											1	E0 H0 cos 2 t 1													2 .
							ПКОЛ z0
							ПКОЛ z0				2

3.2.13 В диэлектрике с относительной проницаемостью = 2.4 создано

постоянное электрическое поле напряженностью E = 200 кВ/м. Определить

электрический дипольный момент P области диэлектрика объемом V = 6

см3.

Решение.
При решении задачи исходим из того, что электрический дипольный

момент области	P	выражается через вектор поляризованности P , а вектор
	V

поляризованности связан с диэлектрической восприимчивостью kЭ и с напряженностью электрического поля.

1) Вначале определим диэлектрическую восприимчивость kЭ, называемую также поляризуемостью:

		kЭ = a – 0 = 0( – 1) = 0(2.4 – 1) = 1.40.
	Здесь ε0 = 8.842∙10 12 Ф/м.
	2) Затем определим вектор поляризованности			, то есть электрический
	2) Затем определим вектор поляризованности		P	, то есть электрический
дипольный момент единицы объёма:

	P kЭ	E 1.4 8.842 10 12 200 103 2.475 10 6 В∙Ф/м 2.
	3) В заключение находим электрический дипольный момент области
	:
P	:
V
			10 11 Кл м.
	P	P V 2.475 10 6 6 10 6 1.485	10 11 Кл м.
	V
	Ответ: электрический дипольный момент				области диэлектрика
	Ответ: электрический дипольный момент		P		области диэлектрика
			V

объемом V = 6 см3 равен 1.485 10 11 Кл м.

3.2.14 Комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля в не-

которой точке пространства задаются выражениями

4.2 10

j1.2

z0 ,

j0.6

j0.7

. Определить комплексный вектор Пойнтинга

E 0.85

x0 1.3 e

и его среднее значение.

Решение.

Запишем выражения для комплексного

и для среднего значения ПСР

вектора Пойнтинга П

в общем виде:

;

П 2

E H

ПСР

Re E H

Re П .

j1.2

Для

условий,

приведённых

задаче

4.2

( H

j0.6

j0.7

E 0.85

x0 1.3 e

y0 ), выражения для комплексно сопряжённого зна-

* вектора напряженности магнитного поля и

чения комплексной амплитуды H

для комплексного вектора Пойнтинга

примут вид:

4.2 10 exp j1.2 z0 ;

0.85exp j0.6

1.3exp j0.7

4.2 10 3 exp j1.2

1.3 4.2 10 3 exp j 1.2 0,7 y

0.95 4.2 10 3 exp j 0.6 1.2

10 3 exp j1.8 .

x 2.73 10 3 exp j0.5 y 1.785

Для условий, приведённых в задаче, найдём выражения для среднего

значения вектора Пойнтинга:

cos 1.8

2.73 10

ПСР Re П x0

cos 0.5 y01.785 10

1.785 10 3 0.227

x 2.73 10 3

0.8776 y

0.406 10 3

2.396 10 3 x

j0.5

1.785 10

j1.8

Ответ: П 2.73 10

0.406 10

П 2.396 10

y0 .

3.2.15 Некоторый анизотропный диэлектрик имеет тензор относитель-

ной диэлектрической

проницаемости, который в декартовой системе коорди-

нат имеет компоненты 11 = 22 = 33

= 6.5, ij = 0, i j. В диэлектрике создано

равномерное электрическое поле

E 2.51x0

1.7 y0

9.2z0 .

Определить век-

тор электрической индукции		и угол в пространстве между векторами		и
тор электрической индукции	D	и угол в пространстве между векторами	E	и

D .
Решение.
Запишем выражения для проекций вектора электрической индукции
				D

в общем виде в декартовой системе координат:

Dx = a11 Ex + a12 Ey + a13 Ez; Dy = a21 Ex + a22 Ey + a23 Ez; Dz = a31 Ex + a32 Ey + a33 Ez;.

Подставим в записанные выражения заданные значения компонентов тензора относительной диэлектрической проницаемости :

= 11 = 22 = 33 = 6.5;ij = 0; i j.

В результате получим:
Dx = 0 Ex = 6.50 Ex;
Dy = 0 Ey = 6.50 Ey;
Dz = 0 Ez = 6.50 Ez.
Для заданного электрического поля E 2.51x0			1.7 y0	9.2z0	имеем:
Ex = 2.51 В/м;	Ey =1.7 В/м;	Ez = 9.2 В/м.
Поэтому:

Dx = 6.5 2.510 = 16.320; Dy = 6.5 1.70 = 11.050; Dz = 6.5 9.20 = 59.80.

Такой же результат, но более коротким путём можно получить, используя матричное исчисление:

					Dx			11	0		0					Ex			6.5		0		0		2.51			16.32
					Dx			11	0		0					Ex			6.5		0		0		2.51			16.32
		D			Dy	0		0 22			0					Ey	0		0		6.5		0		1.7	0		11.05.
					Dz			0	0				33			Ez			0		0		6.5		9.2			59.8
			Определим выражение для косинуса угла в пространстве (cos ) между

векторами E						и D , используя формулу для скалярного произведения:

							E D		E			D		cos Ex				Dx Ey Dy Ez Dz .
		Из этой формулы получим:
																Ex Dx Ey Dy							Ez	Dz
							cos		E D							Ex Dx Ey Dy							Ez	Dz
																								.
																								.
										E			D							E		D

		Для получения численного значения cos вычислим вначале модули

	E	и	D	векторов				E и		D	, а затем скалярное произведение E																D этих век-
торов:

								Ex2 Ey2			Ez2				2.512			1.72			9.22 9.687 В/м;
						E		Ex2 Ey2			Ez2				2.512			1.72			9.22 9.687 В/м;

Dx2 Dy2 Dz2 16.322

11.052 59.82 0 62.963 0 Кл/м2;

0 2.51 16.32 1.7 11.05 9.2 59.8

E D Ex Dx Ey Dy

Ez Dz

609.896

В Кл

;

м3

Ez Dz

cos

E D

Ex Dx

Ey Dy

609.896 0

0.99996

;

9.687 62.963 0

= arcos(0.9996) = 0.5949 .

Ответ: = 0.5949 ;

Кл/м

D 0 16.32x0 11.05y0

59.8z0

16.32

или в матричной форме

11.05

Кл/м2.

59.8

3.2.16 В однородной проводящей среде с параметрами и в момент времени t = 0 создано начальное распределение плотности зарядов (x, y, z). Показать, что за счет токов проводимости в среде происходит экспоненциальное уменьшение плотности объемного заряда:

x, y, z,t 0		t
	exp		.
	exp	0	.
		0

Оценить характерное время релаксации этого процесса для типич-

ного металла, у которого 1 = 107 См/м, а также для полупроводника, имеющего 2 = 10 3 См/м.

Указание. Для решения используйте уравнение непрерывности тока.

Решение.

Запишем уравнение непрерывности тока:


	t	divjпр .
	t
Выразим вектор плотности тока проводимости					через вектор элек-
Выразим вектор плотности тока проводимости				jПР	через вектор элек-

трической индукции	D :

			D
	jПР E		0
			0

и подставим полученное выражение для вектора плотности тока проводимо-

сти jПР в уравнение непрерывности тока:


	divjПР		divD .
t	divjПР	0	divD .
t		0

Запишем третье уравнение Максвелла в дифференциальной форме:

divD

и, подставив выражение для		в полученное уравнение непрерывности
и, подставив выражение для	divD	в полученное уравнение непрерывности
тока, получим однородное дифференциальное уравнение:

				0.
	t		0	0.

Из математики известно, что решение такого уравнения имеет вид:

		t		exp	t
	exp					,
0			0
		0

где постоянная времени, определяемая по формуле:

						0 .

Для 1 = 107 См/м имеем:
					8.85 10 12				8.8510 19				с,
									8.8510 19				с,
		1				107
а для 2 = 10 3 См/м:						107
а для 2 = 10 3 См/м:
					8.85 10 12				8.85 10 9				с.
			2			10 3			8.85 10 9				с.
			2

	0			t			0				t
	0						0
Ответ:		exp						exp				;
Ответ:		exp						exp				;
					0
для 1 = 107 См/м:						8.8510 19				с,
				1
для 2 = 10 3 См/м: 2 8.8510 9										с.

3.2.17 Сердечник трансформатора выполнен из стали с плотностью 7.7 г/см3 и имеет массу 2 кг. Амплитудное значение магнитной индукции 2.1 Тл, относительная магнитная проницаемость стали = 200. Найти максимальное значение энергии, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидальным током.

Решение.

Запишем выражение для определения максимального удельного значения энергии Wmax.УД, запасаемой в сердечнике, при намагничивании его синусоидальным током:

W	B	H	max	B2
	max			max .
max УД		2		2 0

Поскольку энергия Wmax, запасаемая в сердечнике, распределена по объёму сердечника V практически равномерно, то:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 188 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.05.2015521.02 Кб561111111111.docx
#
15.08.20191.42 Mб9113-140.doc
#
12.11.20181.23 Mб13411_Электромагнитные колебания и волны.doc
#
16.03.20161.65 Mб541221-osn_electrodinam_part2.pdf
#
16.03.20162.53 Mб1731223-osn_electrodinam_part1.pdf
#
16.03.20163.53 Mб9731224-osn_electrodinam_zadachi.pdf
#
11.05.2015378.91 Кб881266-Optich_naprav_sredy.pdf
#
11.05.20156.48 Mб4591271812.rtf
#
11.05.20152.61 Mб1512_100229_1_65892.pdf
#
12.11.20181.6 Mб7312_Волновая оптика.doc
#
11.05.20151.97 Mб351319-lab_practicum.pdf