1224-osn_electrodinam_zadachi

grad = вектор;

divA A скаляр;

rotA A вектор;

grad ( + ) = grad + grad ;

div A B

divA divB ;

rot A B

rotA rotB ;

div A Agrad divA;

div AB BrotA ArotB ;

функции ;

divrotA A 0

;

rot grad = [ ] = 0;

rotrotA A A A graddivA 2 A;

1

1

grad u0

v0

v

z0

grad z0

;

h

U

h

z

z

u

v

1

A

A

divA

h

A

h A

z div

A

z ;

U

v

u

v

u v

z

z

hv hu

1

A

A

A

1

A

1

rotA u

z

v

v

u

z

z

h A

h A

;

0

0

v

z

0

z hu

u

v v

v

u u

hv

hu hv u

1

h

h

2

2

divgrad 2

v

u

divgrad

u

z2

z2

h h

u h

v h

v

u

v

u

v

2

2

;

z2

координатные орты в точке наблюдения; hu, hv, (hz = 1)

Здесь u0

, v0

, z0

коэффициенты Ламе; grad , div ,

divgrad 2 дифференциальные

grad x0 x

y0 y

z0 z

;

A

Ay

A

divA

x

z

;

x

y

z

A

Ay

A

A

Ay

A

rotA x

z

y

x

z

z

x

;

0

y

z

0

z

0

x

x

y

divgrad 2

2

2

2

;

x2

y2

z2

2 A

2 A .

2 A

x 2 A y

0

z

0

x

y

0

z

grad r0

0

z0

;

r

z

1

A

A

A

A

1

rA

A

rotA r

z

r

z

z

r

;

0

0

0

z

z

r

r

r

r

A

1

1

A

A

divA

r

A

z

;

r

r

r

r

z

divgrad 2

2

1

1

2

2

.

r 2

r

r

r 2

2

z2

12

1.4.4

Сферическая система координат (R, , )

1

1

grad

R0

0

0

;

R

R

R sin

A ;

divA AR

2 A

1

sin A

1

R

R

R

R sin

R sin

1

A

1

A

rotA R

sin A

R

R sin

A

0

0

R sin

R sin

R

1

R A

A

;

R

0

R

R

2

2

2

1

1

2

divgrad

sin

.

R2

R2 sin

R2 sin 2

2

R

R

1.4.5

Свойства векторных полей

Будем полагать, что вектор

A и его первые частные производные одно-

значны и непрерывны во всех точках поля. Тогда векторное поле

A задано

ственных координат:

rotA F(R) ,

divA f (R) ,

вызвано тем обстоятельством, что в физических задачах принято направлять

вектор A в сторону убывания потенциала .

Необходимым и достаточным условием потенциальности поля A явля-

ется равенство rotA 0 .

Векторное поле A называется соленоидальным, если A rotC

, где

функцию C именуют векторным потенциалом поля

A .

divrotA 0 ;

rot gradU = 0;

rotrotA graddivA

2 A ;

div U A

UdivA AgradU ;

rot U A UrotA AgradU ;

r

x2 y2 z2 .

и M(x, y, z), изображается раз-

Отрезок, соединяющий точки P x , y , z

ностью их радиус-векторов:

y

r r

x0

x x y0

y z0 z z .

(1.14)

Абсолютное значение этого вектора выражает расстояние между точ-

ками Р и М:

x

2

y

2

2

(1.15)

r

r

x

y

z z .

из (1.13) запишется:

Векторный дифференциал длины вектора r

dr x0dx

y0dy z0dz .

(1.16)

Пусть задана векторная функция

v x, y, z , и соответствующее вектор-

ное поле описывается силовыми линиями. Будем считать, что dl

есть век-

(k коэффициент пропорциональности).

v

x0vx y0vy z0vz , то есть

dl

kv

и

в декартовых координатах, получаем про-

Сравнивая представления dl

v

14

dx

dy

dz

,

(1.17)

x

vy

vz

1

1

r , r x, y, z, x , y , z

. (1.18)

r r

x x 2 y y 2 z z 2

Фиксируя точку P x , y , z , будем

рассматривать

эту величину как

функцию (x, y, z), и вычислим ее градиент. Находим:

z z

grad

x0 x

x y0

y y z0

,

x x 2

y y 2 z z 2 32

или

grad

r

r

.

(1.19)

3

r

r

В частности, когда точка

совпадает с началом координат

P x , y , z

О(0, 0, 0), то есть r 0 , имеем:

grad

r

r0

,

r3

r2

где r орт радиального направления.

0

Если

же фиксирована точка M(x,

y,

z),

то

1

есть функция

r

r

x , y , z .

В этом случае grad

r

r

,

или если M(x, y, z) совпадает с

3

r

r