1224-osn_electrodinam_zadachi

получим дифференциальное уравнение:

d 2 x 2 x 0 , dt 2

описывающее гармонические колебания, решение которого имеет вид: x = xcos(t + ).

Ответ: движение электрона будет периодическим и собственная частота колебания электрона равна:

2.2.16 По бесконечному цилиндрическому проводнику радиусом а протекает постоянный ток с плотностью j. Определить напряженность магнитного поля внутри и вне проводника.

Решение.

Запишем закон полного тока (первое уравнение Максвелла в интегральной форме):

а первое уравнения Максвелла приводится к выражению:

H 2r = I.

Выразив ток I как произведение плотности тока j на площадь поперечного сечения проводника S, по которой течёт ток, получим:

H j S .

2 r

51

С помощью полученного для напряжённости магнитного поля H выражения найдём зависимость H от кратчайшего расстояния r между точкой наблюдения и осью симметрии цилиндрического проводника для двух случаев.

1)Для напряжённости магнитного поля H внутри проводника (r ≤ а и S

=πr 2) :

H r j S j r2 j r . 2r 2r 2

2) Для напряжённости магнитного поля H снаружи проводника (r ≥ а и

S = πа2) :

2.2.17 По двум бесконечным прямолинейным проводникам, ориентиро-

ванным вдоль оси z, протекают равные противоположно направленные токи I.

Определить векторный потенциал магнитного поля A во всём пространстве.

Решение.

Вектор магнитной индукции B связан с векторным потенциалом маг-

нитного поля A с помощью выражения:

Откуда для двух бесконечных прямолинейных проводников, ориентированных вдоль оси z, в которых протекают равные противоположно направленные токи I, получаем:

52

Здесь r1 и r2 – кратчайшие расстояния от точки наблюдения до соответ-

ствующего проводника.

Ответ: векторный потенциал магнитного поля A во всём пространстве

2.2.18На каждой из трех бесконечно больших плоскостей х = а, х = 0

их = а находится поверхностный заряд q, распределённый с равномерной плотностью (рисунок 2.9). Определить электрическое поле и потенциал для всего пространства, принимая φ = 0 в точке х = 0.

Рисунок 2.9 – Иллюстрация к задаче 2.2.18

Решение.

Чтобы получить формулу для величины Е вектора напряженности элек-

трического поля E в явном виде, запишем закон Гаусса в интегральной форме:

53

На каждой стороне плоскости в создании напряженности электрического

Здесь Sq – поверхностная плотность заряда.

Определим выражение для потенциала в этой области:

му вместо их скалярного произведения используем обычное произведение величин этих векторов: E l.

3) В области пространства, где координата а < х ≤ 0 (рисунок 2.9), величина Е вектора напряженности электрического поля E определится как величина алгебраической суммы векторов:

54

4) В области пространства, где координата х ≤ а (рисунок 2.9), величина Е вектора напряженности электрического поля E определится как величина алгебраической суммы векторов:

2.2.19 Путём интегрирования уравнения Лапласа в сферических координатах, вычислить потенциал электростатического поля внутри и вне прово-

55

дящей сферы радиуса а, по поверхности которой равномерно распределён заряд q.

Решение.

Чтобы получить формулу для величины Е вектора напряженности элек-

трического поля E в явном виде, запишем закон Гаусса в интегральной форме:

где qохв – величина заряда, охваченная сферой радиуса r.

1) вычислим потенциал электростатического поля φнар(r) вне проводящей сферы, когда r ≥ а и qохв = q:

2) вычислим потенциал электростатического поля φвнутр внутри прово-

дящей сферы, когда r < а, qохв = 0, Еr = 0 и φ = const:

φвнутр = 0.

Ответ: потенциал электростатического поля равен:

при r < а: φвнутр = 0.

2.2.20 Покажите, что квадрат разности потенциалов (φ2 φ1)2 прямо пропорционален величине F силы, то есть порядок величины электростатических сил, действующих между телами, можно оценить по разности потенциалов. Найдите величину коэффициента пропорциональности k и его размерность [k] в системе СИ.

Решение.

1) Выразим размерность величины разности потенциалов [(φ2 φ1)] через размерность величины силы [F]:

56

2) Выразим размерность величины квадрата разности потенциалов [(φ2 φ1)2] через размерность величины силы [F]:

3) Из последнего выражения определим величину коэффициента про-

Абсолютная диэлектрическая проницаемость εа в системе СИ имеет размерность фарад на метр [Ф/м], поэтому, согласно последней формуле, размерность [k]= [м/Ф].

Ответ: размерность [k]= [м/Ф], а величина k находится из формулы:

2.3 Задачи для самостоятельной работы

2.3.1 Чему равна полная электростатическая сила, действующая на единицу положительного заряда +q0, помещенного в центре квадрата со стороной а, если по углам квадрата расположены (по часовой стрелке) заряды q1, q2, q3 и q4, причём: q1 = q3, а q2 = пq 4 (рисунок 2.10). Вариант задания для этой задачи назначается преподавателем, и состоит из трёх цифр. Ниже приведена таблица 2.1 с исходными данными согласно варианту задания.

Рисунок 2.10 – Иллюстрация к задаче 2.3.1

57

Таблица 2.1 – Исходные данные к задаче 2.3.1

2.3.2 Заряженная частица движется в направлении x в пространстве, где имеется электрическое поле Еy и перпендикулярное к нему магнитное поле с индукцией Bz со скоростью x. При каком условии результирующая сила F, действующая на эту частицу, равняется нулю. Какова должна быть величинаx, если Еy и Bz известны. Данные для решения задачи приведены в таблице 2.2 и зависят от номера варианта.

Таблица 2.2 – Исходные данные к задаче 2.3.2

2.3.3 Индуктивная катушка представляет собой одиночный виток, размещенный на кольцевом сердечнике из ферромагнитного материала ( >> 1) с размерами: внутренний диаметр равен 2а, внешний 2b, высота h. Найти индуктивность катушки (рисунок 2.11). Ниже приведена таблица 2.3 с исходными данными согласно варианту задания.

59

Таблица 2.4 – Исходные данные к задаче 2.3.4

2.3.5 Плоский конденсатор имеет размеры l и d и подключён к источнику питания с напряжением U. В зазор конденсатора введена пластина с относительной диэлектрической проницаемостью . Пренебрегая краевыми эффектами определить силу F, стремящуюся втянуть пластину внутрь конденсатора (рисунок 2.13). Вариант задания для этой задачи назначается преподавателем и состоит из трёх цифр. Ниже приведена таблица 2.5 с исходными данными согласно варианту задания.

Примечание: система стремится к состоянию устойчивого равновесия, при котором электрическая энергия, запасённая в конденсаторе, достигает наибольшего значения, а свободная энергия системы «диэлектрик - обкладки конденсатора» наименьшего значения. Для достижения такого состояния диэлектрик втягивается между обкладками конденсатора до тех пор, пока электрическая ёмкость конденсатора не достигнет максимального значения. Считать, что сила F не распределена по объёму, а полностью приложена к центру тяжести диэлектрика.

Рисунок 2.13 – Иллюстрация к задаче 2.3.5