8.2. Основные показатели изучения динамических рядов

К числу основных показателей динамических рядов относятся:

1. Темп роста. Различают базисный и цепной темпы роста:

а) базисный – отношение последующего показателя к первоначальному, принятому за базу:

;

б) цепной – отношение последующего показателя к предыдущему:

.

2. Темп прироста. Существует два вида темпа прироста:

а) базисный – разница между базисным темпом роста и 1 или 100%:

, или ,

показывающий, на сколько процентов изменился каждый последующий показатель по сравнению с первоначальным или другим, принятым за базу сравнения;

б) цепной:

.

Показывает, на сколько процентов изменился последующий показатель по сравнению с предыдущим.

Другой способ: .

Между цепными и базисными темпами роста имеют место определенные зависимости:

– Произведение последующих цепных темпов роста равно соответствующему базисному темпу роста:

.

– Отношение последующего базисного темпа роста к предыдущему равно цепному темпу роста:

.

– Среднегодовой темп роста определяется по формуле средней геометрической:

а),

где n– число темпов роста.

б) ,

где Y_i– последний уровень ряда динамики;Y₀– первоначальный уровень ряда динамики;n– количество темпов роста (периодов).

Показывает, во сколько раз в среднем за год изменился изучаемый показатель.

3. Среднегодовой темп прироста:

.

Показывает, на сколько процентов в среднем за год изменился изучаемый показатель.

4. Абсолютный прирост:

а) базисный:

Дy_б=y_i – y₀ ДY_Б=Y _i– Y₀.

б) цепной:

Дy_ц=y_i – y_i-1 ДY_Ц =Y_i – Y_i-1.

Показывает на сколько единиц изменился каждый последующий уровень динамического ряда по сравнению с базисным или предыдущим.

5. Среднегодовой абсолютный прирост:

,

где n– число дат.

,

где y_n– последний уровень ряда динамики;y₀– первоначальный уровень р.д.;n– число уровней.

Показывает, на сколько единиц в среднем за год изменился изучаемый показатель.

6. Средний уровень ряда динамики:

а) для интервальных рядов средних величин и относительных величин.

;

б) для моментных рядов.

.

7. Абсолютное содержание 1% прироста:

1) .

2) .

8.3. Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики

Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени. В этих случаях ряд динамики подвергается дополнительной обработке различными способами.

1. Приведение ряда динамики к одному основаниюприменяется для сравнения изменения одного показателя для различных объектов во времени.

Пример: имеются данные о закупках молока в двух санаториях в 1999–2003 гг.

Год	Закупка молока, т		% к 1999 г.
	Сан. №1	Сан. №2	Сан. №1	Сан. №2
1999	45,5	56,1	100,0	100,0
2000	72,4	65,1	159,1	116,0
2001	95,2	66,5	209,2	118,5
2002	122,0	65,0	268,1	115,9
2003	128,0	67,0	281,3	119,4

2. Метод скользящей среднейиспользуется для устранения влияния случайных факторов на динамику изучаемого явления, процесса. Его сущность заключается в определении подвижных сумм, путем последующего сдвига на одну дату суммируемого показателя; затем подвижные суммы делятся на число дат, таким образом получаются подвижные, или скользящие средние величины.

Месяц	Добыча нефти, тыс. т	Трехмесячный подвижный итог, тыс. т	Трехмесячная подвижная, средняя, тыс. т
	2015	–	–
	1938	6133 (2015+1938+2160)	2044 (6133:3)
	2160	6264 (1938+2160+2166)	2088 (6264:3)
	2166	6661(2160+2166+2335)	2220 (6661:3)
	2335	6687	2229
	2186	6677	2259
	2256	6826	2275
	2384	6904	2301
	2264	7077	2350
	2429	7084	2361
	2381	7098 (2429+2381+2443)	2368 (7098:3)
	2443	–	–

Основное направление развития явления во времени называется трендом.

3. Выравнивание по аналитическим формулам.

Суть этого способа состоит в том, что по эмпирическим данным находят так называемое уравнение тренда, по которому определяют теоретические уровни, рассматриваемые как функция времени, т.е. .

Рис. 9. Графическое определение линии тренда

Нахождение параметров той или иной гипотетической функции осуществляется аналогично нахождению параметров уравнений регрессии (в качестве фактора xвыступает фактор времениt).

Так, при выравнивании ряда по прямой для нахождения параметров прямой решается система нормальных уравнений вида

Для упрощения рассчета при выравнивании динамических рядов условное обозначение временных точек (t) можно ввести так, чтобы. В этом случае системы нормальных уравнений значительно упрощаются. Так, при выравнивании по прямой система будет иметь вид

Пример. Имеются следующие данные о прибытиях туристов в города за 5 лет (на начало года):

Показатель	Год
	1999	2000	2001	2002	2003
Численность населения, тыс. чел.	72	78	83	87	90

Найти линию тренда и, используя полученное уравнение, определить численность туристов в 2006 г. (прогноз).

Если время (t) обозначить так, чтобы(т.е. счет вести от середины ряда), то система упростится и примет вид

Каждое уравнение в этом случае решается самостоятельно:

и.

Необходимые для расчета а₀иа₁суммы приведены в таблице.

Условное обозначение времени (t)	Год	Количество прибытий, тыс. чел. (y)	t2	yt
–2	1999	72	4	–144	73,0
–1	2000	78	1	–78	77,5
0	2001	83	0	0	82,0
1	2002	87	1	87	86,5
2	2003	90	4	180	91,0
Σt = 0	n = 5	Σy = 410	Σt2 = 10	Σyt = 45

Получаем

5а₀=410, а₀=82;

10а₁=45, а₁=4,5,

отсюда уравнение прямой для выровненных уравнений (линия тренда):

.

Выровненные значения, рассчитанные по последней формуле путем постановки в нее значений t=-2, -1, 0, 1, 2, показаны в графе 6таблицы.

Численность туристов в 2006 г. (t=5) определяем по формуле:

.

Естественно, эта величина условная, рассчитанная при предположении, что линейная закономерность изменения численности населения, принятая для 1999–2003 гг., сохранится на следующий период до 2006 г.

4. Интерполяция– это метод определения неизвестных промежуточных значении ряда динамики на основе анализа известных показателей.

Пример. Имеются данные о производстве электроэнергии в регионе в 1998–2003 гг. Представим, что за 2001 г. нет данных. Найдем их тремя способами.

Производство электроэнергии	Годы
	1998	1999	2000	2001	2002	2003
Млн кВт/ч	1,5	2,0	2,1		2,6	2,8

1. Определим среднегодовой прирост за 2000–2002 гг.:

,

тогда

2. Определим темп роста:

,

тогда

3. Определим среднегодовой темп роста за весь период:

,

тогда

5. Экстраполяция– распространение результатов наблюдения над определенными объектами на объекты, не подвергшиеся наблюдению (прогнозирование явлений). Рассмотрим методы на предыдущем примере. Предположим, что нам необходимо сделать прогноз на 2003 г.

1. Определим среднегодовой абсолютный прирост:

,

.

2. Определим среднегодовой темп роста:

,

.

Методы интерполяции и экстраполяции применяются только в случаях плавного, постепенного, равномерного изменения явления на небольших промежутках времени.