Методичка по сопромату (I семестр)

51

2.7. Дані для виконання розрахунково-проектувальної роботи №2 “Визначення головних центральних моментів інерції плоских складних перерізів”

Робота складається з трьох задач. В задачах 1 і 2 необхідно.

1.Визначити необхідні для розв’язання задачі геометричні характеристики кожного простого перерізу відносно власних центральних осей.

2.Обчислити координати загального центра ваги даного перерізу.

3.Обчислити осьові і відцентровий моменти інерції перерізу відносно центральних осей.

4.Обчислити значення головних центральних моментів інерції

перерізу.

5.Визначити положення головних центральних осей інерції перерізу.

6.Виконати перевірки правильності обчислень.

7.Побудувати коло інерції Мора. Визначити графічно значення

головних центральних моментів інерції і кутів α1 та α2, що визначають положення головних осей. Порівняти між собою аналітичні і графічні результати розрахунку. При розв’язанні задачі 1 цей пункт можна не виконувати.

8.Зобразити переріз в масштабі з основними розмірами і положеннями головних центральних осей.

9.Обчислити головні радіуси інерції та моменти опору перерізу.

10.Виконати контроль обчислень на ПЕОМ за програмою “GEOM”. В задачі 3 необхідно:

1.Зобразити схему перерізу з основними розмірами.

2.Заповнити таблицю даних для розв’язання задачі на ПЕОМ за програмою “GEOM”.

3.Виконати обчислення на ПЕОМ та привести розпечатку результатів обчислень.

Схеми і варіанти даних для всіх задач розрахунково-проектувальної роботи №2 наведені нижче на рис. 2.25, 2.26 і 2.27.

55

Розділ 3. РОЗРАХУНКИ НА МІЦНІСТЬ І ЖОРСТКІСТЬ ПРИ ЗГИНАННІ

3.1. Основні відомості з теорії

При поперечному прямому згинанні, яке спричинено дією згинального момента та поперечної сили, в поперечних перерізах балки виникають нормальні і дотичні напруження. Нормальні напруження в довільній точці поперечного перерізу визначаються за формулою

Jz – осьовий момент інерції поперечного перерізу балки відносно нейтральної лінії (осі z);

y – відстань від нейтральної лінії до точки, в якій визначається напруження.

З формули (3.1) видно, що нормальні напруження змінюються по висоті перерізу лінійно і досягають найбільших значень в крайніх волокнах, тобто при y=ymax

У випадках симетричних перерізів відносно нейтральної лінії (осі z) крайні волокна віддалені від неї на однакові відстані ymax=h/2 (де h – висота перерізу), тому

Для балок постійних перерізів найбільші нормальні напруження виникають у тих перерізах, де діє найбільший за абсолютною величиною згинальний момент |M|max. Якщо такі балки виготовлено з пластичних матеріалів, тобто при [σ+]=[σ-]=[σ], то їх міцність буде забезпечена, якщо

Знак напружень визначається відповідно до розташування розтягнутих і стиснутих волокон. Якщо М>0, то нижче нейтральної лінії σ>0, а вище σ<0. Якщо М<0, то вище нейтральної лінії σ>0, а нижче

σ<0

умова міцності балки за нормальними напруженнями.

У випадках несиметричних поперечних перерізів відносно нейтральної лінії (осі z) крайні розтягнуті і стиснуті волокна віддалені від неї на різні відстані y1 max=h1 і y2 max=h2 (де h1 + h2 =h), тому

- умови міцності балок несиметричних поперечних перерізів з крихких матеріалів за нормальними напруженнями.

Дотичні напруження в довільній точці поперечного перерізу балки

де Q – поперечна сила;

Sz(y) – статичний момент площі відсіченої частини поперечного перерізу відносно нейтральної лінії;

b – ширина перерізу у тому місці, де визначається напруження;

Jz – осьовий момент інерції поперечного перерізу балки відносно нейтральної лінії.

Аналіз формули (3.7) показує, що дотичні напруження розподіляються по висоті перерізу h за законом квадратичної параболи. Найбільших значень для поперечних перерізів (типу двотавр, прямокутник і круг) вони досягають на нейтральній лінії, а в крайніх, найбільш віддалених від неї точках, вони завжди дорівнюють нулю.

Для таврових і двотаврових поперечних перерізів максимальні дотичні напруження визначаються за формулою

Знак τ визначається знаком поперечної сили, але в практичних розрахунках його випускають

де d – товщина стінки;

Sz(max) – статичний момент частини площі поперечного перерізу, що розташована вище нейтральної лінії;

Jz – осьовий момент інерції поперечного перерізу балки відносно нейтральної лінії.

З формули (3.7) можна отримати для балок прямокутних поперечних перерізів таку формулу для визначення дотичних напружень

де Q – поперечна сила;

A – площа поперечного перерізу;

y – відстань від нейтральної лінії до точки, в якій визначається напруження.

При y=0, тобто на нейтральній лінії, дотичні напруження досягають

Для балок круглих поперечних перерізів за формулою Журавського (3.7) можна визначити тільки вертикальну складову повних дотичних напружень. Після визначення і підстановки в формулу (3.7) функцій Sz(y), b(y) і Jz, маємо

де Q – поперечна сила;

A – площа поперечного перерізу;

r – радіус круглого поперечного перерізу;

y – відстань від нейтральної лінії до точки, в якій визначається напруження.

З формули (3.11) видно, що при y=0, тобто на нейтральній лінії,

В балках постійних поперечних перерізів найбільші дотичні напруження виникають в тих перерізах, де діє найбільша за абсолютною величиною поперечна сила |Q|max. Тому для забезпечення міцності балки необхідно виконати, окрім умов (3.4) або (3.6), також умови міцності за дотичними напруженнями

58

де [τ] – допустиме дотичне напруження.

Виконання умов (3.4), (3.6) і (3.13) гарантує міцність матеріалу балки тільки у крайніх точках і в точках, що розташовані на нейтральній лінії. В усіх інших точках балки матеріал знаходиться у плоскому напруженому стані з головними напруженнями

тому для забезпечення його міцності необхідно також задовольнити умову міцності за головним напруженням

де σекв – еквівалентне напруження, яке визначається за однією з теорій міцності;

[σ] – допустиме напруження для матеріалу балки.

Для балок з пластичних матеріалів рекомендується використовувати III або IV теорію міцності [1]. В практичних розрахунках частіше використовується четверта теорія міцності, тобто еквівалентне напруження обчислюється за формулою

Практика показує, що основний вплив на міцність довгих балок (l/h>5) суцільних поперечних перерізів мають нормальні напруження. Тому умови міцності (3.4) і (3.6) є для них основними. При виконанні проектувальних розрахунків балок на міцність з цих умов визначають розміри поперечних перерізів, а потім перевіряють виконання умов міцності за дотичним (3.13) та головним (3.15) напруженням.

В коротких балках (l/h<5) і балках з тонкостінними поперечними перерізами дотичні напруження можуть досягати великих значень, тому виконання перевірки міцності за дотичними напруженнями (3.13)

59

обов’язково.

Головні напруження можуть мати значний вплив на міцність балок тільки у тих випадках, коли в поперечному перерізі є точки, в яких діють великі нормальні і дотичні напруження. Такими точками звичайно є точки переходу від полок до стінок в тонкостінних поперечних перерізах типу двотавр, швелер, тавр та інші. Тому при розрахунку на міцність балок двотаврових перерізів необхідно перевіряти умови міцності за нормальним (3.4), (3.6), дотичним (3.13) та головним (3.15) напруженням.

Перевірка міцності балки за головним напруженням виконується у тому перерізі, де згинальний момент і поперечна сила досягають великих значень, при яких еквівалентне напруження в точці переходу від полки до стінки буде найбільшим.

Розрахунок будівельних конструкцій на міцність обов’язково виконується за граничним станом – втрата несучої спроможності. Цей метод відрізняється від розрахунку за допустимими напруженнями тим, що в ньому замість одного загального коефіцієнту запасу міцності використовуються три окремі коефіцієнти: n – коефіцієнт надійності за навантаженням, k – коефіцієнт надійності за матеріалом, m – коефіцієнт умов роботи.

Умова міцності балки за нормальними напруженнями має вигляд

де R – розрахунковий опір матеріалу згинанню. Він визначається через нормативний опір матеріалу за формулою

Для забезпечення міцності балки необхідно виконати умову міцності

за дотичними напруженнями

де Rзс – розрахунковий опір матеріалу зсуву.

Для оцінки міцності балок двотаврових перерізів необхідно також задовольнити умову міцності за головними напруженнями

Якщо для усіх нормативних навантажень коефіцієнт надійності за навантаженням один і той же, то розрахункові зусилля обчислюються за формулами

Такий метод розрахунку будівельних конструкцій на міцність дозволяє більш повно врахувати вплив різних факторів і заощадити матеріал.

Для нормальної експлуатації балок вони повинні бути міцними і достатньо жорсткими. Умова жорсткості балок має вигляд